Примеры (классических) измерений, которые не являются независимыми?

Какие есть простые примеры измерений, которые не являются статистически независимыми, т. е. с ненулевой ковариацией? Я ищу реальные примеры, которые могли бы разумно появиться в студенческой лаборатории, с целью иллюстрации экспериментальной ковариации.

Уточнить: если N измерений величин X и Y Икс я и у я , со средствами Икс ¯ и у ¯ , то отклонения равны Икс я − Икс ¯ и у я − у ¯ , а ковариация – это корреляция отклонений: лим Н → ∞ [ 1 Н ∑ ( Икс я − Икс ¯ ) ( у я − у ¯ ) ] . Два измерения статистически независимы, если это 0. Я ищу примеры X и Y, где это может не быть 0.

Положите два красных шара в один мешок и два синих в другой. Не говорите учащимся, какой мешочек какой, и пусть учащийся выберет мяч из одного случайного мешочка. Теперь спросите, какова статистика цвета второго шара, взятого из того же мешка.
@DanielSank Спасибо, но это скорее пример, иллюстрирующий статистический принцип, а не измерение, которое может возникнуть в лаборатории. (Кроме того, мне не совсем понятно, как ваш пример иллюстрирует ковариацию, а не, скажем, байесовскую статистику.)
Я понимаю, что вы имеете в виду, говоря об отношении к экспериментальной лаборатории, но не могли бы вы объяснить, что именно вы подразумеваете под «ковариантностью»? Например, предположим, что я измеряю массу объекта несколькими различными способами. Корреляция измерений друг с другом для данного объекта иллюстрирует то, что вы хотите?
Возможно, я понимаю, о чем вы просите: вам не нужны примеры коррелированных средних, вам действительно нужны примеры, в которых колебания измерений коррелированы. Я был сбит с толку, потому что первая строка вашего вопроса требует измерений, которые «не являются статистически независимыми». Я думаю, вам следует отредактировать это, чтобы было ясно, что вы ищете коррелированные колебания , по крайней мере, если это то , что вы ищете.
@DanielSank Да, хотя я бы не обязательно назвал отклонения от среднего значения измерения «флуктуациями» (что для меня подразумевает колебания во времени). Но «не статистически независимый» означает, что отклонения от среднего значения одного измерения коррелируют с отклонениями от среднего значения другого измерения.
Хорошо, в таком случае вы можете помочь нам помочь вам? Учитывая большое количество примеров здесь и тот факт, что вы не удовлетворены, я думаю, что вопрос не совсем в том, что вы хотели спросить. Где прерывается наше общение?

Ответы (2)

Супер простой общий пример

Подумайте о любой величине, которую вы можете измерить более чем одним методом. Получите один образец, где это количество имеет значение Икс и еще один образец, где это количество имеет значение Д . Предложите учащимся измерить параметр несколькими различными способами. Измерения для образца Икс покажут корреляцию друг с другом, а измерения для выборки Д покажут корреляцию друг с другом.

Электрический пример

Возьмите источник приблизительно белого шума (т. е. горячий резистор) и зафиксируйте кривую времени на осциллографе. Низкочастотная фильтрация аналогового входа осциллографа обеспечивает корреляцию измеренных напряжений во времени. Вы можете использовать различные фильтры, чтобы показать учащимся, что время корреляции напряжения увеличивается по мере снижения верхней частоты среза фильтра. [ а ] Если у вас есть анализатор спектра, вы можете связать спектральную плотность в частотной области со временем корреляции во временной области. Это отличная демонстрация, потому что учащиеся могут визуально видеть корреляцию измерений на экране осциллографа.

В этом примере среднее напряжение, измеренное в любой конкретный момент времени, равно нулю. Вы можете установить это, просто вычислив среднее напряжение из серии образцов на осциллографе. С одним и тем же набором данных вы можете видеть, что выборки, близкие по времени, коррелируют. Мне это очень нравится, потому что оно показывает, что один набор данных содержит интересную статистическую структуру.

Механический пример

Начать качание маятника. Не останавливая маятник, попросите учеников измерить положение маятника через равные промежутки времени. Они обнаружат, что измерения действительно коррелируют. Фактически, они могут вычислить корреляционную функцию и обнаружат, что она синусоидальна. Это может показаться тривиальным примером, но на самом деле это не так, особенно если вы затем переходите к большим смещениям, когда движение не является гармоническим!

Как и в примере с электричеством, здесь хорошо виден контраст между средним значением и корреляцией. Если учащиеся начертят гистограмму своих измеренных значений, они найдут нулевое среднее (при условии, что они не измеряют с частотой, соизмеримой с колебанием!), но затем, если они посмотрят на измерения с различной разницей во времени, они увидят ненулевую корреляцию.

Если вам нужна корреляция, которая не находится в одной и той же переменной в разное время (то есть не автокорреляция), вы можете измерить положение маятника и натяжение струны (используйте пружинную шкалу в качестве измерителя натяжения).

Что-то, что не является автокорреляцией

Соберите схему эмиттерного повторителя с биполярным транзистором. Измерьте ток базы и ток коллектора на осциллографе. Их колебания будут коррелированы. В принципе, вы можете наблюдать за изменением усиления при изменении температуры. Рассматриваете ли вы это как коррелированный дрейф (который на самом деле не был бы взаимной корреляцией среднего значения, как описано формулой в ОП) или как реальное колебание среднего значения, зависит от того, как вы хотите думать о временных масштабах. в эксперименте. На самом деле это может быть хорошим уроком для студентов.

[ а ] : Вы можете создавать различные фильтры с р С схема. Вы также, вероятно, можете просто изменить входную полосу пропускания прицела, что требует гораздо меньше усилий :)

Спасибо! Ваш общий пример и механический пример не являются примерами того, что я ищу, но электрический пример дает мне идею для одного: показания температуры с термистора не будут статистически независимыми от тока в другом месте той же цепи.
@pwf Рад помочь. Действительно, мои примеры были корреляциями во времени, тогда как из вашего комментария я понял, что вы, очевидно, ищете корреляции во всем, кроме времени. Я призываю вас во имя педагогики подчеркнуть, что и временные, и «другие» корреляции могут быть поняты одним и тем же общим образом. В частности, это может помочь студентам, когда они переходят к статистической механике и должны понимать такие идеи, как эргодическая гипотеза и т. д.
Я ищу корреляции между любыми двумя разными измерениями. Ваши примеры указывают на автокорреляции. Я был бы рад привести пример со временем как одним измерением (с отклонениями от среднего значения), но хотел бы иметь второе измерение, отклонения которого относительно среднего значения коррелируют с отклонениями времени (например, в случаях, когда время превышено, другое измерение имеет тенденцию также быть переоцененным).
@pwf: Я понимаю, что вы имеете в виду, но на самом деле нет разницы между измерением чего-то в два разных момента времени и измерением двух разных вещей одновременно. Они оба корреляции. Тот факт, что один из них называется «автокорреляцией», вероятно, связан с тем, что многие законы физики записываются в виде дифференциальных уравнений с производными по времени. Хотя я понимаю вашу точку зрения.

Пример астрономии

Начиная со следующего дня после полнолуния, наблюдайте за временем восхода Луны и оценивайте освещенную часть Луны. Время и освещение будут сильно коррелированы, но корреляция не будет идеальной, потому что зависимость не совсем линейна. Круговая орбита дала бы хорошую линейную зависимость. Орбита Луны не совсем круглая, и даже кеплеровское приближение эллипса не идеально из-за солнечных и других возмущений. Корреляция ищет только линейные отношения.

Примеры (классических) измерений, которые не являются независимыми?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v