Сложение по значащим цифрам

Последние цифры в числе 1000 абсолютно значащие, они говорят о том, что у вас не 1200 и даже не 1001, а именно 1000. В экспоненциальном представлении вы бы записали это как$1.000 \times 10^3$. Сравните это с$1\times10^3$где у вас есть только одна значащая цифра.

Обновление: рассмотрим пример из вопроса$1\times10^3+1.0$. Первый член может быть чем угодно между 500 и 1500, поэтому ответ находится между 501 и 1501. Ожидаемое значение ответа — 1001, но его запись таким образом дает ложное ощущение точности. Можно было бы написать это как$1001\pm500$, но это почти то же самое, что и$1\times10^3+1.0=1\times10^3$, что является ответом по правилу значащих цифр.

Правило значащих цифр является упрощением принципа распространения неопределенности . Таким образом, в некоторых случаях это может привести к ошибочным результатам:$1+0.49=1$не выглядит хорошо. Используйте распространение неопределенности, когда вам нужны точные расчеты.

Работа со значащими цифрами очень подвержена ошибкам, поскольку может ввести в заблуждение. Гораздо лучше работать с явными ошибками.

Итак, чтобы переписать ваш пример с явными ошибками:

$\left(1.0 \pm 0.5\right) \times 10^3 + 1.00\pm0.05$

Теперь мы добавляем ошибки квадратично (предполагая, что они не коррелированы):

$\sqrt{(0.5\times 10^3)^2+0.05^2}=500.0000025000\ldots=0.5\times 10^3$

Итак, очевидно, результат остается

$\left(1.0 \pm 0.5\right) \times 10^3$

В реальной физике вы могли бы назвать$1.00\pm0.05$незначительный по сравнению с$\left(1.0 \pm 0.5\right) \times 10^3$.

При сложении и вычитании вы можете перейти только к наименьшему количеству десятичных разрядов . То есть мы имеем дело с точностью , а не с значащими цифрами при сложении/вычитании чисел. Если у вас есть два измерительных прибора, один из которых имеет точность до 0,1 мм, а другой — до 1 мм, то вы не можете окончательно указать общую меру с точностью до 0,1 мм, вы можете только заявить о своей уверенности в 1 мм из-за меньшего измерительного устройства.

Для случая 1 ваши числа имеют 1 десятичный знак и 2 десятичных знака, поэтому наименьшее значение составляет один десятичный знак, следовательно, 0,2 в результате.

Для случая 2 ваши числа имеют 0 знаков после запятой и 1 знак после запятой, поэтому наименьшее значение равно нулю знаков после запятой, следовательно, результат отсутствует.

Как упоминалось ранее, 1000 имеет 4 значащих цифры, что указывает на то, что измеренное значение находится в диапазоне от 999,5 до 1000,5. 1,0 имеет 2 значащие цифры, в то же время он измеряется с точностью до 0,05. Сложение чисел дает результат с точностью до 0,5, поэтому отмечать результат с 1 десятичной цифрой бессмысленно. Если ваше измеренное значение 1000 действительно имеет только 1 значащую цифру, вы должны отметить это как$1\cdot10^3$, указав, что значение находится в диапазоне от 500 до 1500. Добавление 1,0 не изменит число, так как в степени 10 1,0 записывается как$0.0010\cdot10^3$, результат$1\cdot10^3$. При сложении чисел с разными степенями десяти всегда преобразовывайте их в одну и ту же степень, сохраняя при этом значащие цифры.

$1000$имеет неоднозначное количество значащих цифр. У него может быть 1, у него может быть 4. Я думаю, что обычно предполагается, что у него четыре, если не указано иное. (Например, я видел, как люди зачеркивали последнюю значащую цифру, например:$1\overline000$.) Вот почему научная запись полезна. Если вы говорите, что$1000$имеет$1$значимо, то мы можем записать, что как$1\times10^3$и ты можешь написать$1.0$как$1.0\times10^0$. Сложив вместе, вы получите$1.001\times10^3$. Если вы перенесете свои значащие цифры, вы все равно получите$1\overline000$.

Однако, если вы скажете$1000$имеет 4 значащих цифры (т.$100\overline0$), то вы пишете это как$1.000\times10^3$а затем, когда вы добавляете$1.0\times10^0$, ты все равно получишь$1.001\times10^3$но на этот раз, когда вы выполняете свои значащие цифры, вы получаете$1.001\times10^3$, или$1001$.