Проблема дипольного поля в методе частиц-сеток Эвальда с периодическими граничными условиями

Я работаю над диссертацией, в которой широко используются симуляции молекулярной динамики, и я пытаюсь понять, как работает метод частиц и сеток Эвальда. Проблема в том, что мне трудно понять саму ее предпосылку; теперь я объясню, что, как я думаю, я узнал:

Электростатические силы дальнего действия не сходятся, если применяются периодические граничные условия; таким образом, мы не можем получить их, суммируя попарные взаимодействия между каждым зарядом в системе, если мы принимаем во внимание периодические образы зарядов. Проблема в том, что я рассматриваю это как проблему с серьезными практическими последствиями, и я не могу представить, как ее можно решить с помощью математической перестановки. Я сделаю пример:

Предположим, у нас есть электрически нейтральная элементарная ячейка, которая во время моделирования приобретает электрический дипольный момент. Эта элементарная ячейка и ее дипольный момент будут мгновенно воспроизведены во всех ячейках изображения. Рассмотрим электрический потенциал в произвольной точке: он имел бы вокруг бесконечное число оболочек диполей, площадь которых увеличивалась бы как р 2 ( р — радиус оболочки), а дипольная составляющая электрического поля будет уменьшаться как р − 2 ; сумма не сходится, поэтому у нас был бы бесконечный электрический потенциал в каждой точке! Я что-то пропустил?

Я не понимаю, как PME, Ewald Summation или любой другой алгоритм могут решить физическую проблему, если только эти методы каким-то образом не ставят дополнительные граничные условия. Но я не понимаю, как. Можете ли вы помочь мне понять? Заранее спасибо.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я ошибался насчет бесконечного потенциала, потому что в компоненте диполя есть косинусный член, который обнуляет потенциал в моем предложенном расчете по каждой оболочке. В любом случае, если вместо этого мы рассмотрим электрическое поле, мы получим, что оно падает при р − 3 ; суммируя поле, создаваемое каждой оболочкой, мы получаем ряд 1 / р членов, которая все еще расходится на бесконечности, поэтому моя проблема все еще не решена.

Обратите внимание, что совершенно нормально отвечать на свой вопрос . Кроме того, ваш вопрос не обязательно должен отражать свою собственную историю — каждый может найти его в истории редактирования , если ему нужно. Поэтому, пожалуйста, не добавляйте правки в и исправьте то, что нужно исправить (но позаботьтесь о том, чтобы не сделать существующие ответы недействительными).

Ответы (2)

Ну, отправной точкой является тот факт, что 1 / р Кулоновское взаимодействие, которое расходится на бесконечности в k-пространстве, есть только 1 / к 2 который сходится в бесконечности, но расходится в 0. Если взять только те части обоих, которые действительно сходятся, то можно вообще избежать расхождений.

Вы согласны с этим и проблема возникает на следующем шаге или вы не согласны с этой отправной точкой?

На самом деле, суммирование Эвальда не приводит к сходимости волшебным образом расходящихся интегралов. Если вы попытаетесь взять периодическую систему с «+» и «-» зарядами, расходимость на бесконечности, вытекающая из кулоновской расходимости, нефизична: на большом расстоянии средний заряд, видимый удаленным пробным зарядом, равен нулю. Однако если его разбить на части, энергия от взаимодействия с «+» и «-» зарядами по отдельности расходится. Суммирование по Эвальду — это строгий математический прием, позволяющий избежать вычисления взаимодействия с «+» и «-» по отдельности. С таким же успехом можно было бы вычислить взаимодействие с диполями, которые не расходились бы.

В своем вопросе вы подчеркиваете роль периодических граничных условий. Они действительно важны? Вы пытались вместо этого рассмотреть бесконечную решетку?

Вы сказали, что «тогда можно вообще избежать расхождений» и «можно также вычислить взаимодействие с диполями, которые не расходятся»; возможно, я ошибаюсь, но я не согласен в этом пункте, потому что я думаю, что нашел истинное физическое расхождение. Я отредактировал вопрос, потому что заметил, что ошибся в расчете потенциала в моем примере; но я все же нахожу полное поле бесконечным в каждой точке пространства: я ошибаюсь в этом? Почему?
@ data1 Не могли бы вы показать , где появляется расхождение? Я имею в виду, написать потенциал от диполей и получить где-то бесконечность.
Я помещаю свой пример в формулу:
Е → ( 0 ) "=" ∑ с "=" 1 ∞ ∑ я н г 3 ( п → ⋅ р я ^ ) р ^ я − п → 4 π ε 0 р с 3
Где i - индекс диполя в оболочке с мы рассматриваем, р с радиус оболочки, р ^ я - версор положения диполя, Е → ( 0 ) - электрическое поле в начале координат, п → дипольный момент (одинаков для всех диполей). н г увеличивается как р 2 , то нет сходимости, да?
Ну а для наивной сходимости поля наверное диполей не хватает и приходится пары диполей объединять в квадруполи. Однако, если мы рассмотрим потенциальные обвинения
ф "=" ∑ с "=" 1 ∞ ∑ я "=" 1 н г е я р с
и сравните с потенциалом для диполей
ф "=" ∑ с "=" 1 ∞ ∑ я "=" 1 н г г → ⋅ р → я р с 3
второй однозначно лучше.
Извините, но я все еще не понимаю вашей мысли. Если бы я нашел сумму двух расходящихся рядов противоположного знака, мы могли бы поспорить, может ли после правильного суммирования расхождение исчезнуть; но я нашел (или, по крайней мере, я думаю, что нашел) единственный расходящийся ряд: я не вижу математического выхода из этого. Моя идея такова: или мой расчет неверен, или нужно ввести какие-то дополнительные условия.
И я до сих пор не могу понять, что вас беспокоит. То есть вы пытаетесь сказать, что поле внутри бесконечной решетки действительно бесконечно? Но это неправильно.
Я думаю, вы, вероятно, правы, говоря, что поле внутри бесконечной решетки (даже если элементарная ячейка имеет ненулевой дипольный момент) не может быть бесконечностью; но я не могу понять почему! В чем неправильный пассаж в моем расчете?
Сначала вычислите потенциал, который сходится, а затем дифференцируется, чтобы получить поле. Если вы дифференцируете вклады от одиночных диполей, то вы восстанавливаете расходимость, которая совпадает с расходимостью потенциала суммы по зарядам.
Это потребовало бы вычисления дипольного потенциала не только в центре, но и в области (иначе вы не сможете дифференцировать); это становится трудным, и я не могу это сделать. Вам удалось? Как? Во всяком случае, я до сих пор не понимаю, почему мой расчет поля должен давать неверный результат, поэтому какое мое предположение неверно, и это было бы очень интересно для меня.
Я думаю, вы упускаете что-то более общее. Возможно, вы упускаете из виду, что «расходящаяся» сумма может быть равна чему угодно. Действительно, любое число. Так что дивергенция не проблема, пока вы находите способ от нее избавиться. Думайте об этом как о способе избежать 0 / 0 неопределенность.
Я нашел ошибку. Мне нужна была симуляция C++, чтобы найти это. Числитель обращается в нуль, если просуммировать по всем диполям в оболочке. Так что точное значение дипольной составляющей электрического поля равно не бесконечности, а нулю. Что мне теперь делать? Поскольку ошибка включена в мой вопрос, я должен удалить ее?
Лучший вариант — отредактировать вопрос, чтобы удалить неправильные утверждения, и оставить его как есть. Возможно, обсуждение будет кому-то полезно.

Я решил проблему. Я действительно что-то упустил. Я не заметил, что электрическое поле в центре сферической оболочки идеальных диполей равно нулю. Я думаю, что это не очевидно, если вы посмотрите на формулу, но это можно продемонстрировать, используя непрерывный предел и интегрируя по всей оболочке. Поскольку мы работаем с нейтральными имитационными ящиками (конечно), а другие многополюсные компоненты электрического поля являются короткодействующими, я думаю, мы можем сказать, что полное поле сходится. Таким образом, расхождение — это действительно математическая проблема, а не физическая.

Проблема дипольного поля в методе частиц-сеток Эвальда с периодическими граничными условиями
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v