Проблема индекса в изменении действия при переводе, зависящем от пространства-времени

Question

Проблема индекса в изменении действия при переводе, зависящем от пространства-времени

РенатоРенатоРенато

У меня есть два вопроса, и я отвечу на них, поясняя свой расчет и свои, возможно банальные, неуверенности.

По сути, мы выводим тензор энергии-импульса для скалярного поля из теоремы Нётер способом, аналогичным тому, который описан в Weinberg, The Quantum Theory of Fields, Vol I, pag. 311.

Рассмотрим лагранжевую плотность комплексного скалярного поля:

л "=" - \partial^{мю} ф^{*} \partial_{мю} ф - м^{2} ф ф^{*}

$\mathscr{L} \, =\, -\partial^{\mu} \phi^* \partial_{\mu} \phi - m^2 \phi \phi^*$

и следующее преобразование

ф \to ф (Икс) - а^{мю} (Икс) \partial_{мю} ф (Икс) ф^{*} \to ф^{*} (Икс) - а_{мю} (Икс) \partial^{мю} ф^{*} (Икс)

$\phi \rightarrow \phi(x) - a^\mu (x) \partial_\mu\phi(x) \\ \phi^* \rightarrow \phi^*(x) - a_\mu (x) \partial^\mu\phi^*(x)$

Мой профессор пишет, что помимо членов, пропорциональных $a$ (что мне еще предстоит доказать самому себе) $\eta^{\mu \nu} \mathscr{L}$ , с $\eta$ метрика), вариация лагранжиана есть

(\partial_{мю} а_{ν}) (\partial^{мю} ф^{*} \partial^{ν} ф + \partial^{ν} ф^{*} \partial^{мю} ф)

$(\partial_\mu a_\nu)(\partial^{\mu} \phi^* \partial^{\nu} \phi + \partial^{\nu} \phi^* \partial^{\mu} \phi)$

Пока я получаю

(\partial_{мю} а^{ν}) (\partial^{мю} ф^{*} \partial_{ν} ф) + (\partial^{мю} а_{ν}) (\partial^{ν} ф^{*} \partial_{мю} ф)

$(\partial_\mu a^\nu)(\partial^{\mu} \phi^* \partial_{\nu} \phi )\, + \, (\partial^\mu a_\nu) (\partial^{\nu} \phi^* \partial_{\mu} \phi)$

Я твердо уверен, что они могут быть одинаковыми, но я не знаю, как играть с индексами, чтобы достичь того же результата. Может ли кто-нибудь помочь мне с ths? Это был мой первый вопрос.

Второй - о том, что я получил этот результат.

Вслед за Вайнбергом, Квантовая теория полей, том I, стр. 311, у меня есть, что изменение лагранжиана при преобразовании, написанном выше, есть (изменение $\phi$ и $\phi^*$ независимо)

\frac{\partial л}{\partial ф} (- а^{ν} \partial_{ν} ф) - \frac{\partial л}{\partial ф^{*}} (а_{ν} \partial^{ν} ф) - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} \partial_{мю} (а^{ν} \partial_{ν} ф) - \frac{\partial л}{\partial (\partial^{мю} ф^{*})} \partial^{мю} (а_{ν} \partial^{ν} ф^{*})

$\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi} (- a^\nu \partial_\nu \phi) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \phi^*} (a_\nu \partial^\nu \phi) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\mu (a^\nu \partial_\nu \phi) - \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial (\partial^\mu \phi^*)} \partial^\mu (a_\nu \partial^\nu \phi^*)$

Теперь у меня проблема с последними 2 терминами, зачем вводить второй и другой индекс $\mu$ ? Я просто не понимаю, почему это должен быть другой индекс, может кто-нибудь объяснить мне это?

Ответы (3)

Проблема индекса в изменении действия при переводе, зависящем от пространства-времени

Иммануил · Answer 1

Первый ответ: если $\eta$ является метрикой Минковского, то ее производная по координате обращается в нуль, т.е.

\partial_{р} η_{мю ν} "=" 0.

$\partial_\rho\eta_{\mu\nu}=0.$ Следовательно, мы можем поднимать и опускать одни и те же индексы, например

\begin{aligned} (\partial_{мю} а^{ν}) (\partial^{мю} ф^{*} \partial_{ν} ф) & "=" (\partial_{мю} (η^{ν р} а_{р})) (\partial^{мю} ф^{*} \partial_{ν} ф) \\ "=" (\partial_{мю} а_{р}) η^{ν р} (\partial^{мю} ф^{*} \partial_{ν} ф) \\ "=" (\partial_{мю} а_{р}) (\partial^{мю} ф^{*} η^{ν р} \partial_{ν} ф) \\ "=" (\partial_{мю} а_{р}) (\partial^{мю} ф^{*} \partial^{р} ф), \end{aligned}

$\begin{align} (\partial_\mu a^\nu)(\partial^\mu\phi^\ast \partial_\nu\phi)&=(\partial_\mu (\eta^{\nu\rho} a_\rho))(\partial^\mu\phi^\ast \partial_\nu\phi)\\ &=(\partial_\mu a_\rho)\eta^{\nu\rho}(\partial^\mu\phi^\ast \partial_\nu\phi)\\ &=(\partial_\mu a_\rho)(\partial^\mu\phi^\ast \eta^{\nu\rho} \partial_\nu\phi)\\ &=(\partial_\mu a_\rho)(\partial^\mu\phi^\ast \partial^\rho\phi), \end{align}$ который после переименования повторяющегося индекса

ρ

$\rho$ к

ν

$\nu$ получаем такое же выражение.

Второй ответ: индекс вывода всегда должен отличаться от индекса лагранжиана, иначе мы теряем информацию.

Спасибо, теперь, когда я заметил, использование метрики было очевидным. В каком смысле мы теряем информацию? Я не думаю, что действительно понимаю это как физически, так и математически.
@Runlikehell Предположим, следующий пример: $\frac{\partial}{\partial(\partial_\mu \phi)}(\partial_\mu\phi)=1$ . Это только один из возможных результатов. Если вместо этого мы вычислим это с другим индексом, мы получим $\frac{\partial}{\partial(\partial_\nu \phi)}(\partial_\mu\phi)=\delta^\nu_\mu$ , что является более общим, чем первый случай. Казалось бы, это не так важно, но во многих случаях может сыграть решающую роль.

Фазер · Answer 2

Что касается вашего первого вопроса, по определению $a_\mu b^\mu = a_\mu b_\nu \eta^{\mu \nu} = a^\mu b_\mu$ , где $\eta$ является метрикой -> поэтому вы всегда можете сдвигать индексы вверх/вниз, если суммируете их.

Что касается вашего второго вопроса, выражения вида $a_\nu \partial^\nu$ можно рассматривать как скаляр. Вам просто нужно ввести дополнительный индекс, если вы хотите использовать более направленные производные…

Спасибо, теперь, когда я заметил, что использование метрики было очевидным, не могли бы вы уточнить второй ответ подробнее? Я не уверен, что получил это, вместо этого я почти уверен, что не понял.

Штукельбератор · Answer 3

Могу я также добавить, что $\eta^{\nu\rho}\eta_{\nu\sigma}=\eta^{\rho\nu}\eta_{\nu\sigma}=\delta^\rho_\sigma$ и например $\delta^\rho_\sigma a^\sigma=a^\rho$ плюс это $\partial_\mu a^\nu=\eta^{\nu\sigma}\partial_\mu a_\sigma$ . Они могут (а могут и не) пригодиться.

Проблема индекса в изменении действия при переводе, зависящем от пространства-времени

РенатоРенатоРенато

Ответы (3)

Иммануил

РенатоРенатоРенато

Иммануил

Фазер

РенатоРенатоРенато

Штукельбератор

Лагранжиан уравнения Клейна-Гордона

Канонический формализм в координатах светового конуса

Лагранжиан скалярного поля в искривленном пространстве-времени

Что такое лагранжиан уравнения Паули?

Нахождение энергии решения уравнения Синус-Гордон

Эффективный лагранжиан электрон-нейтринного рассеяния

Ограничения уравнений гамильтоновых полей

Неинвариантность Пуанкаре в реальном мире и теории поля

Уравнение Эйлера-Лагранжа для непрерывных систем

Является ли сокращение ∂µ∂µ \partial_{\mu} строго частной производной в теории поля?