Это может быть очень тупой вопрос, но мне интересно, почему мы всегда используем инвариантные лагранжианы Пуанкаре в теории поля. Ведь весь окружающий нас мир отнюдь не однороден, не изотропен и так далее. Пишем ли мы лагранжиан для идеальной вселенной, обладающей инвариантностью Пуанкаре? Но мы пытаемся объяснить реальный мир, где я не вижу трансляционной или вращательной инвариантности. Верно? Даже теории взаимодействующих полей инвариантны по Пуанкаре, тогда как в классической механике наличие потенциального члена в лагранжиане нарушает трансляционную инвариантность.
Состояние Вселенной не однородно и не изотропно, но законы физики таковы. Например, скорость распространения света одинакова во всех направлениях, а масса электрона не зависит от положения. Запись лагранжиана требует предположения о законах физики (точнее, предположения о динамике). Никаких предположений о состоянии не требуется.
В классической механике верно, что внешний потенциал нарушает трансляционную инвариантность. Однако потенциал взаимодействия между двумя частицами при и не нарушает трансляционной инвариантности, если он имеет вид , как это часто бывает (например, ньютоновская гравитация). Взаимодействия между частицами в лагранжианах квантовой теории поля также имеют такую форму.