Проблема согласования релятивистского импульса с соотношениями Гамильтона-Якоби: массивный объект движется с (воображаемой) скоростью света?

Кажется, я не могу понять странный парадокс, вытекающий из моих попыток примирить два физических утверждения, описанных в заголовке. Я уверен, что это какая-то глупая ошибка, которую я сделал в процессе, чтобы вызвать это, но я не могу определить, почему, и даже мои самые лучшие предположения о типе ошибки не кажутся мне способными вызвать ее. Я был бы очень признателен за любое понимание/объяснение/исправление/разъяснение.

ПАРАДОКС

1. В специальной теории относительности, предполагая для простоты точечное массивное свободное тело, движущееся по одной координате x (таким образом, без квадрипотенциалов, без гравитации и т. д.), у меня есть это уравнение для релятивистского линейного импульса вдоль этой координаты в терминах гамма-фактор (в зависимости от скорости), масса покоя и скорость: $$p_x=\gamma m v_x$$
2. Конечно, в моей системе отсчета скорость тривиально равна: $$v_x=\frac{\partial x}{\partial t}$$
3. Я могу использовать эквивалентность массы и энергии, чтобы заменить массу покоя, умноженную на гамму, полной энергией, используя квадрат скорости света в качестве коэффициента пропорциональности: $$p_x=\frac{E v_x}{c^2}$$
4. Если я хочу решить для скорости, я тривиально получаю: $$v_x=\frac{p_x c^2}{E}$$
5. Из (классических) соотношений Гамильтона-Якоби (которые каждый источник, который я нашел до сих пор, подтверждает, может также применяться к специальной теории относительности, при условии, что гамильтониан также включает член энергии покоя) я могу найти гамильтониан$H$как (минус) частная производная по времени от главной функции Гамильтона$S$(аналог действия): $$H=-\frac{\partial S}{\partial t}$$
6. В простой системе отсчета, которая явно не зависит от времени, я могу отождествить этот гамильтониан с полной энергией тела: $$E=-\frac{\partial S}{\partial t}$$
7. Я могу использовать соотношения Гамильтона-Якоби для импульса вдоль$x$а также как частичная производная по координате от того же$S$(в релятивистском случае механический и канонический импульс совпадают, так как я беру простой случай без потенциалов): $$p_x=\frac{\partial S}{\partial x}$$
8. Если я попытаюсь сопоставить 4 с 6 и 7, я получу: $$v_x=-\frac{\frac{\partial S}{\partial x}}{\frac{\partial S}{\partial t}}c^2$$
9. Какое соответствие с 2 в условиях «достаточно хорошего поведения» (подробнее об этом позже) должно упроститься как: $$v_x=-\frac{\partial t}{\partial x}c^2=-\frac{1}{v_x}c^2$$
10. Это довольно тревожно: в то время как с точки зрения измерений уравнение все еще в порядке (фактор квадрата скорости света фиксирует единицы измерения), говоря количественно, я приравниваю скорость к отрицательному обратному значению скорости, так что, если я попытаюсь решить, я получаю : $$v_x=\pm \sqrt{-c^2}=\pm i c$$

Мне не нравится тот факт, что массивные объекты могут двигаться со скоростью жизни, не говоря уже о том, что они всегда должны двигаться со скоростью света, не говоря уже о том, что это на самом деле воображаемая скорость света! Это кажется довольно злым.

НЕКОТОРЫЕ ВОЗМОЖНЫЕ (намеки) РЕШЕНИЯ

Просто чтобы сэкономить время любезным ответчикам, я перечислил здесь в порядке возрастания вероятности (то есть, по моему мнению), то, что я мог ошибиться:

• Я мог напутать с остальными/инвариантными и релятивистскими/суммарными количествами (я знаю, что многие люди получают$E=mc^2$неправильно, сравнивая полную энергию с массой покоя без гаммы в нестационарных случаях), но это действительно не похоже на то, что я сделал; Кроме того, я действительно изо всех сил пытаюсь понять, как подобная ошибка может решить «парадокс», поскольку не похоже, что умножение или деление на гамму один раз значительно улучшится.
• Я мог ошибиться, рассматривая гамильтониан в 5 как полную энергию в 3 (в конце концов, я, по общему признанию, использую классический результат в релятивистской установке), но до сих пор все источники подтверждали, что в простых установках это должно быть именно так. ; Кроме того, я действительно изо всех сил пытаюсь понять, как подобная ошибка может решить «парадокс», поскольку не похоже, что добавление или вычитание энергии покоя сильно улучшит ситуацию.
• Я мог бы накосячить в 9, «упрощая» дифференциалы и частные производные напропалую (это вообще недопустимо), но, с одной стороны, я думаю, что в этих конкретных случаях так$S$зависит от$x$и$t$позволяет мне это сделать, с другой стороны, я мог бы просто избавиться от дифференциалов, интегрирующих по конечному интервалу времени, так как для изолированного тела энергия есть постоянная движения (это то, что я имел в виду выше под «достаточно хорошо себя ведущей» условия); Кроме того, я действительно изо всех сил пытаюсь понять, как подобная ошибка может решить «парадокс», поскольку некоторым не кажется, что добавление некоторой константы интеграции значительно улучшит ситуацию.
• Я мог уже накосячить в 1, используя простую «релятивистскую массу» для линейного импульса (точно так же, как предполагает почти каждый источник ), вместо «продольной массы» (в отличие от «поперечной»). Забавные мелочи: связанный источник исправляет определение импульса именно для того, чтобы исправить аналогичный «парадокс» с формализмом Лагранжа. Это может быть правдой (и большинство источников о релятивистском импульсе могут ошибаться), но тем не менее, другой квадрат гамма-фактора не так сильно улучшает ситуацию, поскольку: $$p_x=\gamma^3 m v_x$$ $$v_x=\frac{p_x c^2}{E \gamma^2}=-\frac{c^2}{v_x \gamma^2}=-\frac{c^2}{v_x} (1-(\frac{v_x}{c})^2)=v_x-\frac{c^2}{v_x}$$ $$v_x^2=-c^2 v_x^2$$ $$c=\pm i$$ что... ну... не очень обнадеживает (до такой степени, что я действительно надеюсь, что вы вместо этого скажете мне придерживаться поперечной массы)!