Что происходит с шаром, вращающимся с окружной скоростью, близкой к скорости света?

То, о чем вы говорите, является частным случаем парадокса Эренфеста.

В своей первоначальной формулировке, представленной Паулем Эренфестом в 1909 г. в связи с концепцией борновской жесткости в рамках специальной теории относительности 1 , он обсуждает идеально жесткий цилиндр, который вращается вокруг своей оси симметрии. Радиус R, видимый в лабораторной системе отсчета, всегда перпендикулярен его движению и, следовательно, должен быть равен его значению R0 в неподвижном состоянии. Однако окружность (2πR) должна казаться лоренцево сжатой до меньшего значения, чем в состоянии покоя, с помощью обычного коэффициента γ. Это приводит к противоречию, что R=R0 и R

Парадокс еще больше усугубил Альберт Эйнштейн, который показал, что, поскольку измерительные стержни, выровненные по периферии и движущиеся вместе с ней, должны казаться сжатыми, по окружности будет помещаться больше стержней, что, таким образом, будет иметь размер больше, чем 2πR. Это указывает на то, что геометрия неевклидова для вращающихся наблюдателей и была важна для развития общей теории относительности Эйнштейном.