Теорема Нётер и энергия в четырехимпульсе

В ньютоновской физике импульс и энергия часто рассматриваются как отдельные сущности, которые сохраняются по отдельности. В теории относительности энергия рассматривается как «временная» составляющая четырехимпульса. Энергия и импульс по-прежнему сохраняются по отдельности, но они смешиваются при преобразованиях Лоренца таким образом, что энергия отождествляется со временем, а импульс — с пространством.

Между тем в ньютоновской физике существует аналогичное соотношение энергия:время::импульс:пространство, которое становится очевидным в гамильтоновой формулировке. Гамильтониан (энергия) является генератором временных трансляций, тогда как импульс является генератором пространственных трансляций.

В чем «секрет» этого? Как указано в комментариях, теорема Нётер связывает энергию и время через симметрию перевода времени в ньютоновской механике, поэтому эта симметрия, вероятно, также играет роль в теории относительности. Но как? Существует ли четкая линия рассуждений, идущая от теоремы Нётер + пространственно-временной трансляционной симметрии в теории относительности к «энергия и импульс объединяются как четырехвектор»?

Ответом на вопрос в заголовке однозначно является теорема Нётер . Но похоже, что вы также спрашиваете о более тонком моменте, который включает связь между энергией и импульсом в теле поста и то, как они «сплавляются» в релятивистском 4-импульсе. Я правильно читаю ваш вопрос?
@MariusLadegårdMeyer Да. Если теорема Нётер является ответом, то мой вопрос звучит так: «Как симметрия переноса времени + теорема Нётер объясняют, почему имеет смысл помещать энергию во временную составляющую четырехимпульса?»
Хорошо спасибо. На мой взгляд, вам следует обновить вопрос/название с помощью этого разъяснения, это может привлечь лучшие ответы.
Если энергия является генератором переноса времени, а импульс является генератором пространственного переноса, поскольку мы помещаем положение и время в четырехвектор в пространстве-времени, мы автоматически должны помещать их генераторы, энергию и импульс в четырехвектор в четырех -мерное импульсное пространство.
Вопрос (v4) до сих пор не ясен. Кажется, ответ таков: «Во-первых, именно так работает теорема Нётер».
@Qmechanic Я так не вижу. С одной стороны, у нас есть теорема Н., утверждающая, что энергия должна определенным образом соотноситься со сдвигами времени в гамильтоновой формулировке СТО. С другой стороны, мы имеем тот факт, что частица с энергией Е и импульс п → в одной системе отсчета будет наблюдаться Λ ( Е , п → ) в системе отсчета, пространственно-временные координаты которой задаются преобразованием Лоренца Λ .
Я согласен, что это кажется довольно естественным, особенно задним числом. Но теорема N просто ничего не говорит о том, как величины трансформируются при изменении отсчета. Так что я думаю, что некоторая линия рассуждений от А до Б еще предстоит разъяснить.

Ответы (1)

Вы практически сами ответили на вопрос. Само определение энергии (импульса) можно понять как «Нетеров заряд, связанный с переносами времени (пространства)».

Рассмотрим, например, лагранжиан свободной релятивистской частицы

л "=" 1 2 U мю U мю ,
где U мю является четырехскоростной. Если сделать преобразование координат Икс мю → Икс мю + ϵ ψ мю , лагранжиан остается инвариантным (все координаты циклические), и, следовательно, существует некоторая связанная с ним сохраняющаяся величина. Сбор ψ ν "=" дельта ν мю для разных вариантов выбора ν и, используя теорему Нётер, находим, что
− ∑ ν ∂ л ∂ U ν ψ ν "=" − ∂ л ∂ U мю "=" − м U мю
являются константами движения. Мы видим, что можем расположить эти величины в четырех векторах, определив п мю "=" м U мю и анализируя явные выражения для каждой компоненты, мы обнаружим, что это в точности энергия (которая действительно была связана с трансляциями времени в нерелятивистской физике) и импульсы (связанные с трансляциями времени).

Теорема Нётер и энергия в четырехимпульсе
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v