Проблема столкновения спутников

Question

Проблема столкновения спутников

пользователь 2856118

Я застрял на проблеме двух спутников, идущих навстречу друг другу. Масса первого спутника 400 кг, масса второго спутника 100 кг. Высота спутников 1000км. Я хочу знать, столкнутся ли спутники, продолжат ли они движение по орбите или врежутся и сгорят на Земле?

Я знаю, что вы можете получить скорость каждого спутника, используя это уравнение:

в "=" \sqrt{г М / р}

$v = \sqrt{GM/R}$

Где $v$ это скорость, $G$ является $6.67\cdot 10^{-11}$ , $M$ масса планеты, а $R$ это радиус.
Я могу получить скорости, но я не знаю, куда идти отсюда. Также, когда я получаю $R$ , мне также нужно добавить радиус планеты? так что это будет 1000 км + радиус планеты?

Если бы вы, ребята, помогли мне с этим, это было бы потрясающе.

Флорис

Это должно быть помечено как "домашнее задание"?

Джон Ренни

@Floris: это близко. Я думаю, что здесь есть интересная концепция, т.е. применение уравнения vis viva , которое может быть интересно другим.

Флорис

Я могу отвечать на интересные вопросы, и согласен, что это один из них — просто подумал, что тег может подойти. Я действительно спрашиваю ОП...

Ответы (5)

Проблема столкновения спутников

Это должно быть помечено как "домашнее задание"?
@Floris: это близко. Я думаю, что здесь есть интересная концепция, т.е. применение уравнения vis viva , которое может быть интересно другим.
Я могу отвечать на интересные вопросы, и согласен, что это один из них — просто подумал, что тег может подойти. Я действительно спрашиваю ОП...

Джон Ренни · Answer 1

Если я не упустил простой способ решить эту проблему, он кажется на удивление сложным. Эта диаграмма показывает проблему (я преувеличил высоту спутника, чтобы сделать диаграмму более ясной):

Спутники

Спутники находятся на круговых орбитах (пунктирная линия) на расстоянии $r$ от центра Земли, поэтому их орбитальная скорость как (как вы говорите):

в "=" \sqrt{\frac{г М}{р}}

$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Предполагая, что два спутника прилипают друг к другу, когда они сталкиваются, вы в конечном итоге получаете единую 500-килограммовую массу искривленного металла, движущуюся с некоторой скоростью. $v'$ это меньше, чем $v$ . Новая орбита будет эллиптической, и вопрос в том, пересекает ли новая орбита поверхность Земли. Если новая орбита не пересечет Землю, то слитые спутники продолжат движение по орбите, а если новая орбита пересечет Землю, очевидно, что обломки врежутся в Землю.

Первым шагом является вычисление v', и это делается просто по закону сохранения импульса. В момент до столкновения импульс спутника массой 400 кг равен $400v$ а импульс спутника массой 100 кг равен $-100v$ (Я беру положительную скорость вправо). После столкновения импульс обломков равен $500v'$ , так:

400 в - 100 в "=" 500 в^{'}

$400v - 100v = 500 v'$

и мы получаем:

\begin{matrix} (1) & в^{'} "=" \frac{3}{5} в \end{matrix}

$v' = \frac{3}{5}v \tag{1}$

Сложнее всего отработать новую орбиту. Для этого вам нужно начать с уравнения viv viva , и, немного почесав голову, вы сможете составить уравнение для перигейного расстояния ( $r_p$ на схеме):

р_{п} "=" \frac{р_{а}}{\frac{2 г М}{в^{' 2} р_{а}} - 1}

$r_p = \frac{r_a}{\frac{2GM}{v'^2r_a} - 1}$

Тогда вопрос просто в том, $r_p$ меньше радиуса Земли.

Ты знаешь $v'$ из уравнения (1), и $r_a$ это просто начальный радиус орбиты (измеряемый от центра Земли). Я оставлю это на ваше усмотрение $r_p$ и ответьте на вопрос.

Есть простое решение — использовать тот факт, что орбитальная энергия очень просто связана с большой осью. Не могу написать математику на моем телефоне, но вы начинаете с KE = PE для круговой орбиты, уменьшаете KE до 9/25, затем находите большую ось и видите, что ваше расстояние от центра в апогее составляет 9/25 расстояния в перигее. .
@Floris - Легко, но неправильно. Ответ Джона дает результат значительно меньший, чем ваш.
@JohnRennie - Ваш ответ значительно упрощается, если вы признаете, что $GM/r_a$ является $v^2$ . Другой способ получить тот же численный результат - использовать концепцию вектора эксцентриситета для вычисления эксцентриситета. $e = 1-\frac{v^2 r}{GM}$ в периапсисе или апоапсисе, а затем использовать тот факт, что $\frac{r_a}{r_p} = \frac {1+e}{1-e}$ .
@DavidHammen - ты прав; По пути я потерял коэффициент 2 (поставил KE=PE вместо 2KE=PE). Вот что бывает, когда занимаешься физикой на салфетке в аэропорту с нарушением биоритма. Теперь я шаг за шагом записал свой подход и получил тот же ответ, что и Джон.
@DavidHammen ваше уравнение для эксцентриситета верно в апоцентре, однако, если вы возьмете абсолютное значение, оно также будет верно в перицентре. Обычно вы можете найти его с помощью $e=\sqrt{1+\frac{v_{\theta}^2r}{GM}\left(\frac{v^2r}{GM}-2\right)}$ , который в периапсисе или апоапсисе равен $e=\sqrt{\left(1-\frac{v^2r}{GM}\right)^2}$ .
@finoatic - ты прав. Я опустил абсолютное значение. Вектор эксцентриситета является константой движения в кеплеровском движении. Величина вектора является эксцентриситетом.

ДДжонМ · Answer 2

Представляем побочный вопрос к этому вопросу:

С использованием $v$ для орбитальной скорости на $1000$ км, общая кинетическая энергия двух спутников непосредственно перед столкновением

К Е_{До} "=" \frac{1}{2} 400 в^{2} + \frac{1}{2} 100 в^{2} "=" 250 в^{2}

$KE_{\text{Before}}=\frac12400v^2+\frac12100v^2=250v^2$ и, используя приведенную выше конечную скорость Джона Ренни, общая кинетическая энергия объединенных спутников сразу после столкновения составляет:

К Е_{После} "=" \frac{1}{2} 500 {(\frac{3}{5} в)}^{2} "=" 90 в^{2}

$KE_{\text{After}}=\frac12500\left(\frac35v\right)^2=90v^2$ The

160 v^{2}

$160 v^2$ Джоули потерянной энергии распределяются в виде тепла по

500 kg

$500 \text{ kg}$ спутник. Таким образом, каждый килограмм поглотит

0.320 v^{2}

$0.320v^2$ джоулей энергии.

Орбитальная скорость на высоте $1000\text{ km}$ над поверхностью земли находится $7.35\text{ km/sec}$ , поэтому каждый килограмм объединенного спутника должен будет поглотить 17,27 мегаджоулей энергии.

Если мы предположим, что два спутника сделаны из алюминия, это означает повышение температуры примерно на $19, 000 \text{ Kelvin}$ . Даже если предположить, что два спутника имеют такую же высокую удельную теплоемкость, как и вода, мы получим повышение температуры более чем на $4, 100 \text{ Kelvin}$

Флорис · Answer 3

Мы должны сделать здесь несколько предположений, потому что ваш вопрос в том виде, в каком он задан, немного неполный.

1) столкновение неупругое
2) спутники не распадаются при столкновении (см. интересное наблюдение пользователя 58220 )
3) нет атмосферы (поэтому сопротивление не является проблемой - давайте посмотрим, окажутся ли спутники на орбите над поверхностью планеты)
4 ) вы сказали "врезаться в землю" поэтому я предполагаю R = 6400 км. Значение R имеет значение

После столкновения суммарная скорость двух спутников (с начальной скоростью $v$ ) будет дано по закону сохранения импульса:

(м_{1} + м_{2}) в_{ф я н а л} "=" м_{1} в_{я н я т я а л} - м_{2} в_{я н я т я а л} в_{ф я н а л} "=" в_{я н я т я а л} \frac{300}{500}

$(m_1 + m_2) v_{final} = m_1 v_{initial} - m_2 v_{initial}\\ v_{final} = v_{initial}\frac{300}{500}$

Теперь у вас есть спутники в апогее эллиптической орбиты, и они будут приближаться к Земле до своей ближайшей точки, перигея. Допустим, что радиальное расстояние в апогее было $R+h_a$ , а в перигее $R + h_p$ .

Из орбитальной механики мы знаем, что существует связь между большой полуосью орбиты и орбитальной энергией:

\begin{matrix} (1) & - \frac{мю}{2 а} "=" ϵ \end{matrix}

$-\frac{\mu}{2a}=\epsilon\tag1$

Мы знаем, что орбитальная энергия уменьшилась при столкновении: кинетическая энергия до этого была

К Е "=" \frac{1}{2} (м_{1} + м_{2}) в^{2}

$KE=\frac12(m_1 + m_2)v^2$

а после это

К Е "=" \frac{1}{2} {(\frac{3}{5})}^{2} (м_{1} + м_{2}) в^{2}

$KE = \frac12\left(\frac{3}{5}\right)^2(m_1 + m_2)v^2$

На круговой орбите кинетическая энергия равна минус половине потенциальной энергии; после столкновения потенциальная энергия не изменилась (в момент столкновения), а кинетическая энергия уменьшилась. Так

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ϵ_{б е ф о р е} & "=" \frac{в^{2}}{2} - \frac{мю}{р} \\ "=" К Е_{б е ф о р е} - 2 К Е_{б е ф о р е} \\ "=" - К Е_{б е ф о р е} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\epsilon_{before}&=\frac{v^2}{2}-\frac{\mu}{r}\\ &= KE_{before} - 2 KE_{before}\\ &= -KE_{before}\end{align}\tag2$

После этого кинетическая энергия $\frac{9}{25}^{th}$ кинетической энергии раньше, поэтому мы можем написать

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ϵ_{а ф т е р} & "=" (\frac{9}{25} - 2) К Е_{б е ф о р е} \\ "=" - \frac{41}{25} К Е_{б е ф о р е} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}\\ \epsilon_{after} &= (\frac{9}{25}-2)KE_{before}\\ &= -\frac{41}{25}KE_{before}\\ \end{align}\tag3$

Комбинируя уравнения (1), (2) и (3), я получаю соотношение главных осей:

\begin{aligned} \frac{а_{б е ф о р е}}{а_{а ф т е р}} & "=" \frac{ϵ_{а ф т е р}}{ϵ_{б е ф о р е}} \\ "=" \frac{25}{41} \end{aligned}

$\begin{align}\\ \frac{a_{before}}{a_{after}}&=\frac{\epsilon_{after}}{\epsilon_{before}}\\ &=\frac{25}{41}\\ \end{align}$

Для круговой орбиты можно сказать, что $a=2r_a$ , а для эллиптической орбиты $r_a+r_p$ . Итак, теперь у нас есть

\frac{2 р_{а}}{р_{а} + р_{п}} "=" \frac{41}{25}

$\frac{2r_a}{r_a+r_p}=\frac{41}{25}$

С небольшой перестановкой это дает

р_{п} "=" \frac{9}{41} р_{а}

$r_p = \frac{9}{41}r_a$

Так что, когда радиус Земли составляет около 6400 км, а вы вращаетесь на высоте 1000 км над поверхностью, вы обязательно разобьетесь. Самая большая планета, на которой это столкновение не привело бы к завершению орбиты, имеет радиус

р_{м а Икс} "=" 9 \frac{1000}{32} "=" 281 к м

$r_{max}=9\frac{1000}{32}=281 km$

Мой совет - не позволяйте им сталкиваться...

Когда вы говорите, что R = 6400 км, вы правильно округляете? потому что R земли = 6378,1 км, а затем вы добавляете 1000 км? так что R в целом будет 7378,1 км?
Да, я округлил. Радиус земли зависит от того, где вы его измеряете - это не сфера. Для такого вопроса, который содержит множество нереалистичных предположений, использование слишком большого количества значащих цифр контрпродуктивно. И да $r_p$ в моем примере это 7400 км.

ЧашаКрасного · Answer 4

Я могу только предположить, что предполагается, что спутники встречаются лоб в лоб (а не под углом), и что столкновение моделируется как неупругое (а не взрывное столкновение, когда куски разлетаются повсюду).

Если это так, у вас есть скорость каждого и масса каждого. Вы можете использовать закон сохранения импульса, чтобы найти новую скорость объекта объединенной массы, при которой будет апогей.

Вы знакомы с уравнением vis-viva? Затем вы можете использовать это, чтобы найти другие конкретные точки на орбите. Будет еще одна точка на орбите, которую вы захотите найти.

R всегда будет от центра земли. Однако вам нужно учитывать радиус земной поверхности. Ты знаешь почему?

пользователь 2856118 · Answer 5

Итак, после небольшого исследования я пришел к этому ответу. Как я уже говорил, мы знаем, что на орбите масса спутников не имеет значения для определения скорости. поэтому, если мы используем:

в "=" \sqrt{г М / р}

$v = \sqrt{GM/R}$ поскольку M - масса Земли, я могу найти конечную скорость обоих спутников после сопоставления.

В ф "=" (м 2 в 2 - м 1 в 1) / (м 1 + м 2)

$Vf = (m2v2 - m1v1)/ (m1 + m2)$ Я получил 4407,87 м/с.

Если я верну эту конечную скорость к первому уравнению и попытаюсь получить r, я смогу сравнить с ra, и если r меньше, это означает, что он рухнет на землю.

р "=" г М / В ф^{2}

$r = GM / Vf^2$

Таким образом, я нахожу r равным 4527 м, согласно этому, он определенно рухнет на землю. потому что исходный ра был 7378,1 км

Я прав, предполагая это?

Проблема столкновения спутников

пользователь 2856118

Флорис

Джон Ренни

Флорис

Ответы (5)

Джон Ренни

Флорис

Дэвид Хаммен

Дэвид Хаммен

Флорис

фибонатический

Дэвид Хаммен

ДДжонМ

Флорис

пользователь 2856118

Флорис

ЧашаКрасного

пользователь 2856118

Меняется ли путь центра масс двух планет в Солнечной системе до и после столкновения?

Всегда ли гравитационный потенциал планеты на орбите равен минус квадрат скорости?

Планета с квадратной орбитой?

Ошибка в доказательстве теоремы вириала для гравитации

Почему эти периоды одинаковы: низкая околоземная орбита и колебания через центр Земли?

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны

О втором законе Кеплера

Если бы мы бросили бейсбольный мяч с МКС, смогли бы мы его сбить с орбиты?

Нахождение сферы влияния в системе многих тел

Гравитационные / центробежные эффекты ощущаются в космическом лифте.