Связь между граничными условиями и плотностью состояний системы

Плотность состояний на единицу энергии, на единицу длины одинакова как для периода, так и для граничных условий с жесткой стенкой. Этому есть две причины. 1) Математика: для периодических граничных условий собственные состояния равны$\psi_n(x)=\exp(ik_nx)$с$k_n= 2\pi n/L$. Вам нужны как положительные, так и отрицательные значения импульса$k_n$иметь полный набор собственных состояний. Для жестких граничных условий$\psi_n(x)= \sin(k_n x)$с$k_n = \pi n /L$, но у вас есть только положительные значения$k_n$. Таким образом, хотя в периодическом случае энергетические уровни в два раза дальше друг от друга, каждое периодическое состояние является двукратно вырожденным ($\pm k_n$имеют одинаковую энергию). При построении с точки зрения$E$, поэтому и когда$L$большой, энергетические спектры выглядят по существу одинаковыми, если только вы не можете разрешить различия энергий порядка$1/L$. 2) Физика: чтобы частица в большой области знала, находится ли она в периодическом ящике или в ящике с жесткими стенками, частица фактически должна несколько раз добраться до стенок и обратно, чтобы создать волновую функцию стоячей волны. Чем больше ящик, тем больше время, и тем точнее вам нужно измерить энергию, чтобы увидеть разницу. Следовательно, когда вы измеряете что-то физическое, например удельную теплоемкость на единицу объема, точные граничные условия не имеют большого значения.

Отметим также, что для жестких стенок импульс$\hat p$не является наблюдаемой: нет собственных импульсных состояний, совместимых с твердой стенкой ($\psi(0)=\psi(L)=0$) граничные условия. Только энергия$E=\hat p^2/2m$является наблюдаемой в этом случае. В результате плотность собственных состояний на единицу энергии обеспечивает наиболее значимое сравнение между двумя случаями.

Суть в том, что когда вы хотите описать очень большую систему, точное граничное условие, которое вы ставите на удаленных стенах, не имеет значения для любой величины, которую вы можете измерить в лаборатории.

Физика в этих двух ситуациях не одинакова. Для частицы в одномерном ящике вероятность того, что частица окажется вне ящика, равна нулю. Поскольку волновая функция должна быть непрерывной, необходимо наложить граничное условие$\psi(0)=\psi(L)=0$. Следовательно, результат должен быть независимым от времени и иметь общий вид

Мы налагаем периодические граничные условия, когда хотим нормализовать плоскую волновую функцию или установить верхний предел длины волны. Иногда мы даже просто используем его как метод решения проблем и устанавливаем$k\rightarrow\infty$после их решения. В этом случае волновая функция определена везде (даже вне «ящика»). Поскольку нигде нет бесконечного потенциала, оба$\psi(x)$,$\psi'(x)$нужно быть непрерывным. Поэтому граничные условия читаются$\psi(x)=\psi(x+L)$и$\psi'(x)=\psi'(x+L)$. Результат может зависеть как от времени, так и от общего вида

Если мы сохраним ваше периодическое граничное условие$\psi(0)=0$и$\psi(x+L)=\psi(x)$, что я считаю неуместным, мы все еще можем видеть, в чем проблема. Это граничное условие может влечь за собой первое граничное условие$\psi(0)=\psi(L)=0$, но обратное неверно. Поэтому разумно, чтобы решения второго случая содержались в первом случае.