Уравнение Эйлера-Лагранжа с логарифмическим потенциалом

Частица, движущаяся к началу координат, имеет начальные условия$x(t=0) = 1$и$\dot{x}(t=0)=0$.

Если лагранжиан

$$L:=\frac{m}{2}\dot{x}^2 -\frac{m}{2}\ln|x|$$

Это должно удовлетворять уравнению Эйлера Лагранжа

$$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}) = \frac{\partial L}{\partial x}$$

Докажите, что частица достигает начала координат в$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$.

1) хорошо для начала я просто подключаю и расширяю DE

$$\frac{d}{dt}[(\frac{\partial \frac{m}{2} \dot{x}^2}{\partial \dot{x}}) - \frac{\partial\frac{m}{2}ln|x|}{\partial \dot{x}}] = \frac{\partial \frac{m}{2}\dot{x}^2}{\partial x} - \frac{\partial \frac{m}{2}ln|x|}{\partial x}$$

2) так как$x(t)$и$\dot{x}(t)$являются функциями времени, частичные кресты исчезают, и у меня остается:

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial \frac{m}{2} \dot{x}^2}{\partial \dot{x}}) = - \frac{\partial \frac{m}{2}ln|x|}{\partial x}$$

Что сводится к:

$$m \frac{d}{dt}(\dot{x}) = - \frac{m}{2x}$$

Это эквивалентно:

$$\ddot{x} = - \frac{1}{2x}$$

3) Теперь я разделю и интегрирую (имея в виду, что частица начинается с покоя):

$$\dot{x} = \frac{dx}{dt} = -\frac{1}{2}ln|x|$$ $$t = -2 \int^{x}_{x_0} \frac{dx}{ln|x|}$$

Все, что я действительно хочу знать, это то, что до этого момента все ли я делал правильно? Потому что я чувствую, что нет. Я не думаю, что смогу даже интегрировать это, потому что я поместил это в вольфрам, и у меня получился беспорядок.