Лагранжева калибровочная инвариантность L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL’=L+\frac{df(q,t)}{dt}

Итак, мне нужно доказать напрямую (например, путем подстановки), что если путь удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа для лагранжиана л это делается для

л ′ "=" л + г ф ( д , т ) г т .
Позвольте мне рассказать вам, что я сделал:

г г т ∂ л ′ ∂ д я ˙ − ∂ л ′ ∂ д я "=" ( г г т ∂ л ∂ д я ˙ − ∂ л ∂ д я ) + ( г г т ∂ ∂ д я ˙ г ф г т − ∂ ∂ д я г ф г т )

Я хотел бы как-то доказать, что вторая скобка 0 с этой целью я использовал следующее:

∂ ∂ д я ˙ "=" ∑ ∂ д Дж ∂ д я ˙ ∂ ∂ д Дж ⇒ г г т ∂ ∂ д я ˙ "=" ∑ г г т ∂ д Дж ∂ д я ˙ ∂ ∂ д Дж "=" ∑ ∂ д Дж ˙ ∂ д я ˙ ∂ ∂ д Дж .

Теперь доказательство завершено, ЕСЛИ

∂ д Дж ˙ ∂ д я ˙ "=" дельта я Дж .
Я знаю, что это верно для д я , д Дж но верно ли это и для их производных?

да, это также верно для производных, отчасти потому, что они считаются независимыми переменными.
Связано: physics.stackexchange.com/q/174137/2451 и ссылки в нем.

Ответы (3)

Проще всего пойти с

г ф г т "=" ∂ ф ∂ д д ˙ + ∂ ф ∂ т , г г т ( ∂ ∂ д ˙ г ф г т ) "=" г г т ( ∂ ф ∂ д ) "=" ∂ ∂ д ( г ф г т )
Вы можете разобраться с многовариантным случаем самостоятельно.

Просто для полноты картины еще один более простой способ сделать это — рассмотреть, что, решая уравнения Эйлера-Лагранжа, вы, по сути, находите стационарную точку действия. С "=" ∫ т я т ф л г т . Другими словами, вы найдете путь д ( т ) который минимизирует действие, учитывая фиксированную конечную точку д ( т ф ) , д ( т я ) . Это процедура, которая дает уравнения Эйлера-Лагранжа.

Сказав это, рассмотрим действие С ′ "=" ∫ т я т ф г т л ′ "=" ∫ т я т ф г т [ л + г ф г т ]

Затем, интегрируя:

С ′ "=" ∫ т я т ф г т л + [ ф ( д , т ) ] т я т ф "=" С + ф ( д ( т ф ) , т ф ) − ф ( д ( т я ) , т я )

Теперь конечные точки траектории фиксируются при нахождении стационарной точки. Следовательно, когда мы варьируем С , мы изменяем путь, но не конечные точки. Другими словами :

дельта С ′ "=" дельта С + дельта ( ф ( д ( т ф ) , т ф ) − ф ( д ( т я ) , т я ) ) ⏟ "=" 0 ⇔ дельта С ′ "=" дельта С

Следовательно, вариация С ′ и С одно и то же, поэтому они обеспечивают эквивалентное уравнение движения!

Спасибо! Честно говоря, я чувствую себя более комфортно, используя знакомое мне векторное исчисление, чем вариационные методы, поэтому ответ в таком духе очень полезен!

Вы на правильном пути и почти закончили свое доказательство, вам нужно взглянуть на то, что называется «отмена точек», полезный маленький трюк при выполнении лагранжевой механики. Хорошее доказательство дает здесь Бернхард Хейстек.

Лагранжева калибровочная инвариантность L′=L+df(q,t)dtL′=L+df(q,t)dtL’=L+\frac{df(q,t)}{dt}
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v