Пропагатор духов Фаддеева-Попова в каноническом квантовании

Question

Пропагатор духов Фаддеева-Попова в каноническом квантовании

Квантовая точка

Получить пропагатор для призраков Фаддеева-Попова (ФП) из языка интегралов по путям несложно. Это просто

⟨ Т (с (Икс) \bar{с} (у)) ⟩ знак равно \int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{я е^{- я п . (Икс - у)}}{п^{2} - ξ м^{2} + я ϵ} .

$\langle T(c(x) \bar c(y))\rangle~=~\int\frac{d^4 p}{(2\pi)^4}\frac{i e^{-ip.(x-y)}}{p^2-\xi m^2+i\epsilon}.$

Но я не могу правильно вывести его, следуя каноническому маршруту квантования.

Проблема в том, что для антикоммутирующих полей упорядоченный по времени продукт определяется как

⟨ Т (с (Икс) \bar{с} (у)) ⟩ знак равно θ ({Икс}^{0} - у^{0}) ⟨ с (Икс) \bar{с} (у) ⟩ - θ (у^{0} - {Икс}^{0}) ⟨ \bar{с} (у) с (Икс) ⟩

$\langle T(c(x) \bar c(y))\rangle=\theta(x^0-y^0)\langle c(x) \bar c(y)\rangle-\theta(y^0-x^0)\langle \bar c(y) c(x)\rangle$

со знаком минус между двумя терминами. Этот знак минус мешает мне правильно замкнуть контуры, чтобы получить выражение в моем первом уравнении.

Единственный способ, которым я могу спасти это, — сказать, что призраки FP являются особенными, и их упорядоченное по времени произведение определяется со знаком плюс, а не со знаком минус. Это законно? Каков правильный способ заставить пропагатор Ghost следовать каноническому маршруту квантования?

Диего Масон

1. Что такое

ξ

$\xi$ ? Если это

\pm 1

$\pm 1$ метрическое соглашение, это также влияет на

i ϵ

$i\epsilon$ срок. 2. Добавили ли вы общую фазу к

Z [j]

$Z[j]$ поглотить

i

$i$ фактор в кинетическом члене призрачного поля? 3. Не могли бы вы написать соответствующее действие/гамильтониан, призрачные поля изображения Гейзенберга как функцию операторов создания/уничтожения и антикоммутационные отношения, чтобы увидеть ваши соглашения?

Диего Масон

Кстати, это проблема с книгой или ты о чем-то думаешь? Потому что я предполагаю, что вопросы не имеют смысла. Я думаю, что канонический формализм не следует напрямую из версии интеграла по путям в трюке с ФП. Наиболее близким может быть квантование BRST, но там

c

$c$ а также

\bar{c}

$\bar c$ являются независимыми реальными полями (поэтому ваш пропагатор равен 0). Я думаю, что в нековариантном формализме, таком как канонический, имеет смысл фиксировать темпоральную калибровку, а не ковариантную.

Диего Масон

Последний вопрос: как вы выводите

i ϵ

$i\epsilon$ члены из интеграла по путям, если вы не знаете функционал вакуумной волны? Или вы это знаете?

Диего Масон

Еще одна проблема: гамильтониан для скалярного фермионного поля не ограничен снизу.

Квантовая точка

@drake В пропагандисте,

ξ

$\xi$ - калибровочный параметр, который получается путем добавления

\frac{1}{2 ξ} (\partial . A)^{2}

$\frac{1}{2\xi}(\partial.A)^2$ к лагранжиану в БРСТ-подходе. Я пытаюсь понять ковариантное каноническое квантование (конечно, на языке BRST), чтобы в конечном итоге иметь возможность обсуждать одночастичные состояния и применять формулу редукции LHZ для амплитуд рассеяния. Где я могу узнать больше об этом?

Диего Масон

О... Я думал, вы разрабатывали более простой случай без механизма Хиггса (тогда

m = 0

$m=0$ в вашем пропагаторе). Хорошо, я читаю ваш ответ ниже...

Ответы (1)

Пропагатор духов Фаддеева-Попова в каноническом квантовании

1. Что такое $\xi$ ? Если это $\pm 1$ метрическое соглашение, это также влияет на $i\epsilon$ срок. 2. Добавили ли вы общую фазу к $Z[j]$ поглотить $i$ фактор в кинетическом члене призрачного поля? 3. Не могли бы вы написать соответствующее действие/гамильтониан, призрачные поля изображения Гейзенберга как функцию операторов создания/уничтожения и антикоммутационные отношения, чтобы увидеть ваши соглашения?
Кстати, это проблема с книгой или ты о чем-то думаешь? Потому что я предполагаю, что вопросы не имеют смысла. Я думаю, что канонический формализм не следует напрямую из версии интеграла по путям в трюке с ФП. Наиболее близким может быть квантование BRST, но там $c$ а также $\bar c$ являются независимыми реальными полями (поэтому ваш пропагатор равен 0). Я думаю, что в нековариантном формализме, таком как канонический, имеет смысл фиксировать темпоральную калибровку, а не ковариантную.
Последний вопрос: как вы выводите $i\epsilon$ члены из интеграла по путям, если вы не знаете функционал вакуумной волны? Или вы это знаете?
Еще одна проблема: гамильтониан для скалярного фермионного поля не ограничен снизу.
@drake В пропагандисте, $\xi$ - калибровочный параметр, который получается путем добавления $\frac{1}{2\xi}(\partial.A)^2$ к лагранжиану в БРСТ-подходе. Я пытаюсь понять ковариантное каноническое квантование (конечно, на языке BRST), чтобы в конечном итоге иметь возможность обсуждать одночастичные состояния и применять формулу редукции LHZ для амплитуд рассеяния. Где я могу узнать больше об этом?
О... Я думал, вы разрабатывали более простой случай без механизма Хиггса (тогда $m=0$ в вашем пропагаторе). Хорошо, я читаю ваш ответ ниже...

Квантовая точка · Answer 1

Решение этой проблемы исходит из скрытого факта (Куго, 1978) , что хотя призрачное поле ФП является эрмитовым $c^\dagger (x) = c(x)$ , антипризрачное поле является антиэрмитовым $\bar c^\dagger (x)=-\bar c (x)$ .

В результате расширение плоской волны для призрачных/антипризрачных полей (Becchi, 2008), Scholarpedia :

с^{а} (Икс) знак равно \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{к_{0} знак равно | \vec{к} |} \frac{г \vec{к}}{2 к_{0}} (γ^{а} (\vec{к}) е^{- я к \cdot Икс} + (γ^{а})^{†} (\vec{к}) е^{я к \cdot Икс})

$c^a(x)={1 \over(2 \pi)^{3/2}} \int_{k_0= | \vec k|} {d \vec k \over 2 k_0}( \gamma^a( \vec k)e^{-ik \cdot x}+ (\gamma^a)^\dagger( \vec k)e^{ik \cdot x})$

{\bar{с}}^{а} (Икс) знак равно \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} \int_{к_{0} знак равно | \vec{к} |} \frac{г \vec{к}}{2 к_{0}} ({\bar{γ}}^{а} (\vec{к}) е^{- я к \cdot Икс} - ({\bar{γ}}^{а})^{†} (\vec{к}) е^{я к \cdot Икс}),

$\bar c^a(x)={1 \over(2 \pi)^{3/2}} \int_{k_0= | \vec k|} {d \vec k \over 2 k_0}( \bar \gamma^a( \vec k)e^{-ik \cdot x}- (\bar\gamma^a)^\dagger( \vec k)e^{ik \cdot x}) \ ,$ со знаком минус между двумя членами в расширении мод для антифантомного поля.

Таким образом, при оценке упорядоченного по времени коррелятора (пропагатора) знак минус в разложении по плоской волне компенсирует знак минус в определении временного упорядочения, показанном в моем вопросе выше. Таким образом, я могу вывести стандартный пропагатор Фейнмана для фантомного поля ФП.

Интересно. Однако Вайнберг определяет оба поля как эрмитов во 2-м томе своей книги QFT. Я предполагаю, что он вводит $i$ фактор, который делает его реальным. И это должно быть связано с $i$ в кинетическом термине, который иногда поглощается переопределением $Z[j]$ . я тоже думаю что минус знак в $\bar c$ делает гамильтониан ограниченным снизу. Что мне интересно, так это то, что происходит с отшельничностью гамильтониана. Хороший вопрос и ответ!
Было бы неплохо, если бы вы завершили свой ответ полным бесплатным каноническим квантованием, если у вас уже все ясно. По существу: коммутационные соотношения между призрачными полями, невзаимодействующий призрачный гамильтониан в фоковском пространстве и вакуумный волновой функционал.
Кстати, из полей Гейзенберга очевидно, что гамильтониан должен быть $H=\sum_a \int d^3\mathbf{K}~\left(\bar\gamma_\mathbf{K}^{a~\dagger}\gamma_\mathbf{K}^a+\gamma_\mathbf{K}^{a~\dagger}\bar\gamma_\mathbf{K}^a-\text{vacuum energy}\right)$ Я попросил явный расчет, помимо антикоммутационных реалий и вакуумной волновой функции.
@QuantumDot ссылка на [Kubo, 1978] кажется мертвой. Это только я? В любом случае, альтернативная ссылка - Academic.oup.com/ptp/article/60/6/1869/1846386 .
Это очень хороший ответ, который был полезен для меня. Один возможный полезный момент для других: призрачный член в лагранжиане равен $\partial_\mu \bar{c}\partial^\mu c$ . Чтобы лагранжиан был действительным (т. $\mathcal{L}^\dagger=\mathcal{L}$ ), видно, что либо $c$ или же $\bar{c}$ должно быть антиэрмитовским.

Пропагатор духов Фаддеева-Попова в каноническом квантовании

Квантовая точка

Диего Масон

Диего Масон

Диего Масон

Диего Масон

Квантовая точка

Диего Масон

Ответы (1)

Квантовая точка

Диего Масон

Диего Масон

Диего Масон

СлучайныйПреобразование Фурье

ВАХ

Как доказать, что духи Фаддеева-Попова не нужны для теории Янга-Миллса с аксиальной калибровкой?

Лагранжиан Фаддеева-Попова

Сохраняющийся топологический заряд для d=3 Янга-Миллса. Г=У(2)

Как четверные глюонные вершины связаны с SU(2)SU(2)SU(2) и SU(3)SU(3)SU(3)?

Является ли призрачное число физической реальностью/наблюдаемой?

Почему калибровочная группа Янга-Миллса считается компактной и полупростой?

Каков онтологический статус призраков Фаддеева Попова?

Почему экспериментаторы в области высоких энергий никогда не включают призраки Фаддеева-Попова в свои диаграммы Фейнмана?

Петли Вильсона и калибровочно-инвариантные операторы (часть 1)

Инстантон Ян-Миллс