Как доказать, что духи Фаддеева-Попова не нужны для теории Янга-Миллса с аксиальной калибровкой?

Призраки Фаддеева-Поппова вводятся в картину при добавлении члена фиксации калибровки

По той же причине они не нужны в абелевых теориях. Срок FP-призрака умножается$e^{iS}$к$\exp-\int d^4 x \bar{c}\partial_\mu D^\mu c=\det \partial_\mu D^\mu$, определитель, который может быть исключен из числителя и знаменателя среднего оператора в формализме интеграла по путям, если он является пространственно-временным. А если взаимодействие абелево или в аксиальной калибровке, то это сводится к$\det \square$.

Суть процедуры Фаддева-Попова состоит в том, что калибровочное условие вида

(где в модифицированной калибровке Лоренца $S= \partial_\mu A^a_\mu$или в осевом датчике $S= n_\mu A_\mu$) даст калибровочный фиксирующий лагранжиан вида

и с$(A')_\mu^a$калибровочно-преобразованное поле - призрачный лагранжиан вида

вплоть до некоторых констант от функциональной производной, которые поглощаются призрачными полями. В последнем уравнении$A_\mu^a$термин представляет собой калибровочно-преобразованное поле. Мы знаем, что калибровочное поле преобразуется с

где$D_\mu ^{ac}= \partial _\mu \delta ^{ac} + g f^{abc} A_\mu ^b$— ковариантная производная, действующая на поле в присоединенном представлении. Взяв осевую калибровку и выполнив функциональную производную, мы получим призрачный лагранжиан.

Здесь мы видим, что если$n_\mu A_\mu ^a = 0$больше нет взаимодействия призраков с калибровочным полем.