Является ли призрачное число физической реальностью/наблюдаемой?

Это разница в темпераменте, а не в физическом, но я чувствую, что этот вопрос заслуживает ответа с гораздо меньшим формализмом, чем тот, который использует Урс. Физический момент, который вы никогда не должны упускать из виду, заключается в том, что калибровочные симметрии вовсе не симметрии: они не отображают одно состояние в другое, а вместо этого априори идентифицируют различные состояния как одно физическое состояние. По сути, вы взяли гораздо большее пространство состояний, а затем изменили его с помощью калибровочных преобразований; после этого никакие остатки исходной калибровочной группы не являются физическими. Итак, уже когда вы пишете лагранжиан в терминах степеней свободы, например$A_\mu$, вы сильно переоцениваете количество степеней свободы. Вы делаете это, потому что это делает теорию явно локальной. Но вы всегда должны помнить, что реальные физические наблюдаемые — это только калибровочно-инвариантные объекты, и вы можете идентифицировать эти объекты, не фиксируя калибровку и вообще не используя формализм БРСТ. Когда вы вводите призраков, вы, по сути, просто исправляете датчик довольно сложным способом. Ни призрачные поля, ни$A_\mu$поля являются физическими, и хотя они могут быть удобными вычислительными инструментами, вы никогда не должны относиться к ним слишком серьезно, иначе вы рискуете упустить из виду физику в обмен на произвольный выбор, который вы сделали.

Загадка здесь должна исчезнуть, если понять, что БРСТ-комплекс , будучи dg-алгеброй , формально двойственен пространству , а именно «гомотопически редуцированному» фазовому пространству.

Для обычных алгебр это более привычно: алгебра функций$\mathcal{O}(X)$на каком-то пространстве$X$является « формальным двойником » к$X$, на этих картах$f : X \to Y$соответствуют морфизмам алгебр наоборот$f^* : \mathcal{O}(Y) \to \mathcal{O}(X)$.

Сейчас если$X$— некоторое фазовое пространство, тогда наблюдаемая — это просто карта$A : X \to \mathbb{A}$. Двойственно это морфизм алгебр$A^* : \mathcal{O}(\mathbb{A}) \to \mathcal{O}(X)$. С$\mathcal{O}(\mathbb{A})$свободна ли алгебра от одного образующего, снова обнаруживается, что наблюдаемая — это просто элемент$\mathcal{O}(X)$.

(Все это верно в гладкой геометрии с соответствующим образом интерпретированными символами.)

Единственное отличие состоит в том, что теперь БРСТ-комплекс — это не просто алгебра, а dg-алгебра. Следовательно, оно формально двойственно пространству в « высшей геометрии » (в частности, в dg-геометрии ). Конкретно, БРСТ-комплекс — это алгебра функций на алгеброиде Ли , которая представляет собой бесконечно малую аппроксимацию группоида Ли, объектами которого являются полевые конфигурации, а морфизмы — калибровочными преобразованиями. Этот группоид Ли является «слабым» фактором полей по симметриям и, следовательно, является моделью редуцированного фазового пространства.

Таким образом, это означает, что наблюдаемая на пространстве, формально двойственная БРСТ-комплексу$V^\bullet$является гомоморфизмом dg-алгебр$A^* : \mathcal{O}(\mathbb{A}) \to V^\bullet$. Здесь слева мы имеем теперь dg-алгебру, которая как алгебра свободна от единственной образующей, которая а) имеет степень 0 и б) дифференциал которой равен 0. Поэтому такие dg-морфизмы$A^*$точно выбрать элемент БРСТ-комплекса, который а) имеет степень 0 и б) является БРСТ-замкнутым.

Таким образом, восстанавливается определение наблюдаемых как BRST-замкнутых элементов степени 0. Другими словами, элементы более высокой духовой степени не являются наблюдаемыми.