Пропорциональны ли гравитационная сила и гравитационное замедление времени?

Частицы в гравитационных полях подвержены гравитационному замедлению времени. Чем ближе частица к гравитационному источнику, тем медленнее идут ее часы. Я хотел бы узнать больше о связи между гравитацией и гравитационным замедлением времени.

Чтобы получить приблизительное представление, я использовал уравнение гравитации Ньютона (которое можно использовать для слабых полей, и я обнаружил, что гравитация и замедление времени (приблизительно) пропорциональны: можно ли подтвердить этот результат на основе уравнения поля Эйнштейна (возможно, даже для более сильных полей)?

dτ = собственное время частицы в гравитационном поле Земли, dt = собственное время наблюдателя в бесконечности, rs = радиус Шварцшильда Земли, r = расстояние частица - центр Земли

Гравитационное замедление времени:

г т г т "=" 1 − р с р ≈ 1 − р с 2 р

Замедление времени (разница):

1 − г т г т ≈ р с 2 р "=" г М с 2 р

Гравитационная сила (уравнение Ньютона):

Ф "=" г м М р 2

г р а в я т а т я о н а л ф о р с е Т я м е г я л а т я о н ( г я ф ф е р е н с е ) ≈ г м М р 2 г М с 2 р "=" м с 2 р "=" р е с т е н е р г у ( о ф т час е п а р т я с л е с ты б Дж е с т т о т я м е г я л а т я о н ) г я с т а н с е ( о ф т час е п а р т я с л е )

(В результате замедление времени будет примерно равным гравитации, деленной на энергию покоя частицы, умноженную на ее расстояние.)

Привет Мунрейкер. Если вы еще этого не сделали, пожалуйста, найдите минутку, чтобы прочитать определение того, когда использовать тег « домашняя работа и упражнения» , и политику Phys.SE для проблем, подобных домашней работе.
Привет @Qmechanic, спасибо за информацию, и я прочитал указанную вами страницу. - Не знаю, почему вы считаете, что мой вопрос подпадает под эту категорию. Мой вопрос четко указан в заголовке, и другого вопроса нет: есть ли какое-то отношение пропорциональности между силой гравитации и гравитационным замедлением времени. Я мог бы даже переформулировать свой вопрос без приведенных мною формул (если хотите). Мне просто нужна информация об уравнениях поля Эйнштейна, не более того.
Кроме того, для дальнейшего использования, пожалуйста, не удаляйте и не публикуйте вопросы повторно. Вместо этого, если они не очень хорошо приняты, вам следует отредактировать их, чтобы улучшить.
@David Z♦: Хорошо, я восстановил предыдущий вопрос. Спасибо за этот официальный комментарий, надеюсь, я исправил его. Хотелось бы узнать ваш комментарий по теме моего вопроса? Искренне

Ответы (2)

Если вы посмотрите на мой ответ на вывод радиуса Шварцшильда с использованием релятивистской массы, я расскажу, как приближение слабого поля дает нам приблизительную метрику для ньютоновского гравитационного потенциала. ф :

г с 2 ≈ − ( 1 + 2 ф с 2 ) с 2 г т 2 + 1 1 + 2 ф / с 2 ( г Икс 2 + г у 2 + г г 2 )

Чтобы извлечь из этого замедление времени, мы возьмем неподвижный объект, поэтому г Икс "=" г у "=" г г "=" 0 и использовать связь между строковым элементом и собственным временем г с 2 "=" − с 2 г т 2 получить:

г т г т ≈ 1 + 2 ф с 2

Чтобы прояснить это, возьмите двух наблюдателей А и Б с гравитационными потенциальными энергиями ф А и ф Б , то уравнение говорит нам, что прошедшее время, записанное А и Б связаны:

г т А г т Б ≈ 1 + 2 ( ф А − ф Б ) с 2

Это уравнение справедливо только тогда, когда 2 Δ ф / с 2 ≪ 1 , и в этом случае мы можем использовать биномиальное разложение:

г т А г т Б ≈ 1 + Δ ф с 2 + более высокие условия

и отбрасывая старшие члены и переставляя:

г т А − г т Б г т Б ≈ Δ ф с 2

И это как раз то, что вы описываете. Помните, что потенциальная энергия ф - потенциальная энергия на единицу массы, поэтому, если мы умножим верх и низ правой части на массу, чтобы получить полную потенциальную энергию Φ мы получаем:

г т А − г т Б г т Б ≈ Δ Φ м с 2

что на самом деле представляет собой гравитационный потенциал, деленный на энергию покоя.

Но это приближение работает (надежно) только в пределе слабого поля. Так получилось, что выражение слабого поля работает для любых значений р в метрике Шварцшильда, но , как обсуждалось в связанном вопросе, это случайное совпадение, и на него нельзя полагаться.

Хорошие, интересные объяснения, но вы далеки от ответа на мой вопрос! Вы подтвердили, что мой грубый расчет по уравнению Ньютона дает приблизительно правильные результаты для слабых полей. Я знаю это, даже если бы я не мог объяснить это с помощью метрик Шварцшильда, как это сделали вы. Но мои расчеты (и ваши тоже) наводят на мысль, что гравитационная сила и гравитационное замедление времени пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, равным энергии покоя частицы, деленной на расстояние. - Они пропорциональны или нет?
@Moonraker: Я думал, что это очевидно из моего последнего уравнения. В пределе слабого поля относительное замедление времени пропорционально гравитационному потенциалу. Однако это верно только в пределе слабого поля, поэтому он работает для расчета замедления времени геостационарных спутников, но не для расчета замедления времени вблизи черной дыры.
Мой вопрос не для технологических приложений, а для изучения природы гравитационного замедления времени и гравитации (даже в более сильных полях). Ваше окончательное приближенное уравнение не содержит больше информации, чем мое окончательное приближенное уравнение. Уравнение Ньютона подходит для слабых полей.
Я ценю, что вы показали приближение Шварцшильда, но могут быть и другие идеи, вытекающие из уравнения поля Эйнштейна, которые проливают свет на эту предполагаемую пропорциональность. Масса производит гравитацию, а масса производит гравитационное замедление времени - может быть между ними есть прямая связь??
@Moonraker: Должен признаться, я не понимаю, к чему ты клонишь. Линейная пропорциональность является явлением слабого поля и является неизбежным следствием того факта, что в пределе слабого поля ОТО должна воспроизводить ньютоновскую гравитацию. Вне предела слабого поля замедление времени, очевидно, связано с массой (точнее, с тензором энергии-импульса), но помните, что вы можете выбрать любую систему координат, которую хотите, и замедление времени будет зависеть от выбранных вами координат, поэтому соотношение сложный.
Зависит ли гравитационное замедление времени от выбранной мной системы координат?
@Moonraker: это зависит. Собственное время является инвариантом, а координатное время — нет. Я предполагаю, что мы должны определить замедление времени как отношение собственных времен, и в этом случае отношение не будет зависеть от координат.

Они не должны быть связаны.

Например, если у вас есть полая сферическая оболочка из материи, то внутренняя часть сферы представляет собой плоскую область пространства-времени, и она имеет такое же расширение времени, как и оболочка.

Но поскольку внутренняя часть плоская, внутри оболочки нет гравитационной силы. Но есть замедление времени.

Пропорциональны ли гравитационная сила и гравитационное замедление времени?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v