Простой маятник Почему обобщенная координата всегда под углом?

Сила тяжести находится в$\hat y$направление, но это не единственная сила в проблеме. Также есть натяжение в струне, которая указывает вдоль струны. Тогда полная сила направлена ​​по касательной к окружности.

Другой способ сказать это: вы можете работать с координатами$x,y$с базисными векторами$\hat x$,$\hat y$, но тогда силы$\hat x$и$\hat y$направления. Если вы вместо этого работаете в координатах$r,\theta$, с единичными векторами$\hat{r}$,$\hat{\theta}$, вы обнаружите, что сила направлена ​​только в$\hat \theta$направлении, без компонента вдоль$\hat r$. Так что это более приятные координаты для использования!

Поскольку строка имеет фиксированную длину l, мы можем написать$x=\sqrt(l^2-y^2)$

ммм нет

$x=\pm\sqrt{l^2-y^2}$

Итак, есть два разных положения системы с одинаковым$y$значение, одно с положительным$x$и один с минусом$x$, небольшое размышление о том, как качается маятник, показывает, что и положительные, и отрицательные$x$значения являются частью нормальной рабочей области маятника.

Ответ Питера Грина уже показал вам ошибку ($x=\sqrt{l^2-y^2}$обычно это не так), но вы также можете непосредственно увидеть, что$y$не является достаточной координатой:

Как бы быстро ни двигался маятник, внизу у нас всегда$y=-l$и$\dot{y}=0$. Следовательно, вы не можете описать состояние системы только$y$и$\dot{y}$.

---

Изменить: также стоит отметить, что другие ответы действительно верны, что$\theta$используется вместо декартовых координат еще и потому, что на самом деле это выбор, который дает простейшие (и, субъективно, наиболее естественные) уравнения.

Вы можете использовать любую систему координат, которая вам нравится. Однако некоторые из них значительно облегчают решение уравнений движения. В частности, если вы выберете$\theta$то вы получите систему, которая явно имеет одну степень свободы, а если вы выберете$x$&$y$вам нужно выразить это как в двух измерениях с ограничением между ними:$y = -\sqrt{l^2 - x^2}$.

Обычно людям нравится выбирать систему координат, которая упрощает решение.

Координаты$x$,$y$или даже (длина дуги)$s$так же хороши, как$\theta$как обобщенная координата. Различие между ними может быть только вопросом удобства.

В качестве короткого упражнения давайте посмотрим, что происходит, когда мы выбираем либо$\theta$или$y$как обобщенная координата.

Первый$q=\theta$. Тогда лагранжиан

$$L=\frac{1}{2}l^2\dot\theta^2+gl\cos\theta,$$ где мы выбрали единичную массу для простоты. Уравнение движения гласит $$\ddot \theta+\frac gl\sin\theta=0,$$ и малые колебания означают $\sin\theta\approx\theta$, следовательно $$\ddot \theta+\frac gl\theta=0.$$

Теперь пусть$q=y$. Затем

$$L=\frac 12\left(1+\frac{y^2}{l^2-y^2}\right)\dot y^2+gy=\frac 12\frac{l^2\dot y^2}{l^2-y^2}+gy,$$ так как мы устраняем $x$используя ограничение $x^2+y^2=l^2$. Уравнение движения выглядит намного хуже, $$\frac{d}{dt}\left(\frac{l^2\dot y}{l^2-y^2}\right)-\frac{l^2y\dot y^2}{(l^2-y^2)^2}-g=0.$$ так как производная по времени должна действовать как на $\dot y$и $y$. Кроме того, аппроксимация малых колебаний не так однозначна, как в предыдущем случае. Вы должны рассмотреть $l-y\ll l$и Тейлор расширить.

Также обратите внимание, что, поскольку ограничение является голономным, вы можете рассмотреть двойственную задачу , которая на самом деле имеет три степени свободы ($x$,$y$и$\lambda$)

$$L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2)+gy+\lambda(x^2+y^2-l^2).$$ Принимая уравнения Эйлера-Лагранжа для $q_i=x,\ y,\ \lambda$, $$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0,$$ получаем уравнения движения для $x$, $y$и $\lambda$, последнее является просто ограничением. Тем не менее, гораздо проще держать с собой $q=\theta$.

В лагранжевой механике натяжение струны является ограничивающей (неизвестной) силой, поэтому оно «заменяется» голономной связью:

$$x^2+y^2=\ell^2 \tag 1\\$$

Вы можете выбирать$x$или$y$как обобщенную координату, но вы можете выбрать только одну из них, потому что есть одно ограничение и две декартовых координаты$(x,y)$, поэтому количество степеней свободы (которое совпадает с количеством обобщенных координат) просто:$2-1=1$степень свободы ($1$обобщенная координата). Более того, обобщенные координаты должны быть независимыми, т . е. не существует никакого отношения или формулы, которые их собирают, что не так, как видно из ограничения.$(1)$( например , если я знаю значение$x$вовремя$t_1$и подставить его в уравнение$(1)$Я могу уменьшить значение$y$).

Однако существует другое эквивалентное ограничение:

$$S=\ell \theta \tag 2\\$$ где $S$- длина дуги кругового пути боба.
Эти два ограничения в основном одинаковы (и считаются как одно), потому что они содержат одинаковую информацию о геометрии системы: путь движения круговой, и они говорят нам, что струна не растягивается (с постоянной длиной). Следуя тем же рассуждениям, вы можете выбрать $S$или $\theta$как обобщенная координата. Поскольку у нас есть вращательное движение, удобно использовать угол $\theta$как обобщенная координата.

Важно отметить, что каждый выбор обобщенных координат дает одно и то же дифференциальное уравнение движения (следовательно, одно и то же решение для координаты и одна и та же собственная частота вибрации).$\omega_0$).