Простые вопросы о вычислении SUSY F-членов

Индекс$i$в потенциальном сроке

$$V_F = F_i F^*_i$$ является сокращением для индекса, который помечает все киральные суперполя. Таким образом, если два киральных суперполя организуются в $SU(2)$дублет, как это бывает $H_u$, у нас все еще разные $i$для двух компонентов. По сути, мы суммируем и два компонента дублета.

Такой$F_iF^*_i$ясно$SU(2)$-инвариант. $U$в$SU(2)$означает унитарное, и это прилагательное в точности означает, что билинейные выражения, такие как$F_i F^*_i$инвариантны относительно преобразований. Так и есть. Здесь я предполагаю, что$i$пробегает ортонормированный базис; должно.

Суперпотенциал$W$сам должен быть$SU(2)_W$-инвариантный и калибровочно-инвариантный, если уж на то пошло. Поля в вашем суперпотенциале Юкавы, которые преобразуются нетривиально, это$Q$и$H_u$. Обратите внимание, что в ваших соглашениях ни$Q$ни$H_u$комплексно сопряжен в продукте, появляющемся в$W$. Это означает, что для построения$SU(2)$инвариант, их$SU(2)$дублетные индексы должны быть сжаты через$\epsilon^{ij}$потому что там есть два равных двузначных индекса. Как можно догадаться из закона сохранения электрического заряда, верхняя (электрический заряд) составляющая одного дублета умножается на нижнюю (электрический заряд) составляющая другого дублета.

Чтобы закрепить ответы,

1. Да,$i$работает над дублетами так$F$тоже дублет. Он состоит из двух компонентов, и мы суммируем$F_i F^*_i$над$i$который$SU(2)$-инвариант.

2. Тут несколько непонятно, почему вы настаиваете на крестике вместо звездочки. Основных причин может быть две. Во-первых, перестановки и столбцы против строк. Вы можете обсудить,$F_{H_u}$который является дублетом, следует записывать в виде столбца или строки. Если вы хотите получить обычный матричный продукт в$F^*\cdot F$, первый должен быть строкой, а второй должен быть столбцом. Однако,$F^*_i F_i$записывается в терминах компонентов, поэтому нам не нужно знать, должны ли компоненты дублета быть записаны в строке или столбце - это чистое соглашение, которое не влияет на формулу. Таким образом, нет необходимости указывать транспозицию дополнительными обозначениями. В качестве альтернативы вы можете предпочесть$\dagger$потому что мы, в конечном счете, занимаемся квантовой механикой, и мы действительно имеем в виду эрмитово сопряжение всех операторов поля — я имею в виду каждого компонента дублета в отдельности. Да, квантовая механика всегда требует$\dagger$где классическая теория$*$но принято использовать классическую нотацию с$*$различать отдельные поля, т.е. условность классической физики даже в квантовой механике. Особенно в случае SUSY, мы действительно сначала строим классическую теорию, используем ее обозначения, а затем квантуем ее. Да, все отмеченные звездочкой операторы действительно являются эрмитово-сопряженными. Обратите внимание, что$U$это синглет, который ничего не меняет.

3. Вы можете проверить$SU(2)$инвариантность, просто тщательно отслеживая, какие компоненты полей,$Q$,$H_u$а также$F$, преобразуются как дублеты и как билинейные инварианты строятся из дублетов. Когда вы сделаете это правильно, соблюдая приведенные выше правила, вы увидите, что оба$W$и$V$являются$SU(2)$-инвариант. Таким образом, даже ваш член четвертой степени явно$SU(2)$-инвариант, потому что это снова конструкция алгебраической формы$T_i T^*_i$для$SU(2)$дублет$T$.

Что касается вашего комментария о нежелательных вершинах, вам необходимо тщательно различать поля компонентов и суперпартнеров. Суперсимметричные члены в лагранжиане производят только некоторые взаимодействия для кварков и другие для скварков — и разные взаимодействия для различных комбинаций. В частности, кубический суперпотенциал в$d=4$является перенормируемым, поэтому вы можете быть уверены, что он производит перенормируемые взаимодействия только при переписывании в компонентах. Итак, что касается вашего члена четвертой степени, вы будете генерировать член четвертой степени только в скалярах - скварках, размерность которых равна «массе» на фактор, поэтому остальные измерения$m^4$по-прежнему пертурбативно перенормируема. Нет$fermion^4$условия, которые вы получаете таким образом. Вместо этого даже в компонентном языке вы получаете термины, которые воспроизводят$W$и не$|W|^2$, такие как термы Юкавы, объединяющие скварк с кварком и хиггсино, или Хиггс с двумя кварками (конечно, так еще получаются массы кварков). Такие кубические члены получаются потому, что в суперсимметричном лагранжиане есть и квадратичные члены.