Противоречие в теореме о работе-энергии для твердых тел?

У нас есть твердое тело в состоянии покоя. На него действует сила, которая приводит его в поступательное движение (скорость центра масс равна$V_{cm}$) и вращаться вокруг неподвижной оси с$\omega$

Клеппнер и Колнеков доказывают, что:

Работа, совершаемая силой, равна изменению кинетической энергии центра масс. Так$W=\Delta K_{cm}=\frac{1}{2} m V_{c m}^{2}$и вот их доказательство

Чтобы получить поступательную часть, мы начнем с уравнения движения для центра масс

$$\begin{aligned} \mathbf{F} &=M \frac{d^{2} \mathbf{R}}{d t^{2}} \\ &=M \frac{d \mathbf{V}}{d t} \end{aligned}$$ Работа, совершаемая при смещении центра масс на$d \mathbf{R}=\mathbf{V} d t$является $$\begin{aligned} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{R} &=M \frac{d \mathbf{V}}{d t} \cdot \mathbf{V} d t \\ &=d\left(\frac{1}{2} M V^{2}\right) \end{aligned}$$ Интегрируя, получаем $$\oint_{\mathbb{R}}^{R_{i}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{R}=\frac{1}{2} M V_{b}^{2}-\frac{1}{2} M V_{a}^{2}$$

Но мы также знаем из теоремы о кинетической энергии работы, что работа, совершаемая внешней силой, равна изменению кинетической энергии тела, поэтому$W=\Delta K=\frac{1}{2} m V_{c m}^{2}+ \frac{1}{2} I \omega^{2}$.

Тогда эти два уравнения противоречат друг другу!

Кто-нибудь может мне помочь, пожалуйста. я не могу спать