Единственность уравнения Пуассона при наличии неизвестного связанного заряда

Я знаком с обычными аккуратными доказательствами единственности решений уравнения Пуассона,

$$\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon$$ которые показывают, что если у нас есть два решения$\phi'$,$\phi''$, затем $$\int_{\Gamma} dV \nabla(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'') = \int_{\partial \Gamma}(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'')\cdot \vec{dA} - \int_{\Gamma} dV (\phi' - \phi'') \nabla^2(\phi' - \phi'')$$ Я буду предполагать, что имею в виду хороший, простой том$\Gamma$, и что я указал граничные условия на границе$\partial \Gamma$. Магия заключается в том, что для соответствующих граничных условий, таких как фон Нейман и Дирихле, или их смеси в разных частях$\partial \Gamma$, поверхностный интеграл в правой части равен нулю. Более того,$\nabla^2(\phi' - \phi'')$обращается в нуль везде, поэтому интеграл по объему справа обращается в нуль, оставляя

$$\int_{\Gamma} dV \nabla(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'') = 0$$ что подразумевает, что$\nabla(\phi' - \phi'')$равен нулю по объему, поэтому$\phi' - \phi''$постоянно. Все хорошо.

---

Моя беда в том, что$\rho$часто указывается не полностью! Например, если у нас есть граница между двумя диэлектрическими средами в пределах$\Gamma$, я ожидаю, что граница будет иметь связанный заряд от материального отклика. То есть,$\rho = \rho_{\rm free,\, specified} + \rho_{\rm bound,\, unspecified}$. Для простых материалов задача получает дополнительные граничные условия вместо задания$\rho_{\rm bound,\, unspecified}$в начале.

То есть человек ожидает

$$\nabla^2 \phi = -\rho_{\rm free, specified}/\epsilon$$ вдали от границы между простыми материалами вместе с дополнительным перпендикулярным к границе граничным условием $$\epsilon_{a} \frac{\partial \psi}{ \partial n}\big{|}_{a} = \epsilon_{b} \frac{\partial \psi}{ \partial n}\large|_{b}$$ на границе между простыми материалами. Эта последняя граница не является частью$\partial \Gamma$, и это граничное условие имеет другой вкус, чем Дирихле или фон Неймана, поскольку это просто уравнение непротиворечивости, а не спецификация.

Как мне доказать единственность (учитывая обычные типы Дирихле, фон Неймана и т.$\partial \Gamma$) для такой задачи, где дополнительные граничные условия внутри$\Gamma$полностью заменить$\rho$в$\Gamma$? Моя борьба в том, что я не вижу этого$\phi' - \phi''$будет удовлетворять уравнению Лапласа, поскольку априори связанный заряд может быть разным для двух растворов.