Является ли соответствие оператора-состояния аксиомой или теоремой?

Думаю, это зависит от ваших взглядов. Существует вывод соответствия состояния оператора из интеграла по путям, см., например, конспекты лекций TASI . Это хорошо, если вы интуитивно понимаете, что такое состояния и локальные операторы.

Есть более аксиоматическая точка зрения. Вы спрашиваете, откуда мы знаем, что такое гильбертово пространство состояний в КТП, если мы не знаем, что такое гамильтониан. Прежде всего, предположим, что существует единственное вакуумное состояние, инвариантное относительно всех симметрий, назовем его$|0\rangle$. Тогда, поскольку речь идет о КТП, допустим, что существует реальное скалярное поле$\phi(x)$. Затем мы можем начать формировать новые состояния, воздействуя им на вакуум.

$$\phi(x_1)|0\rangle,\quad \phi(x_1)\phi(x_2)|0\rangle,\quad\ldots$$ Ближайшая проблема состоит в том, что эти состояния нельзя нормализовать, поскольку, скажем, норма первого состояния равна $\langle0|\phi(x)\phi(x)|0\rangle$, которая является двухточечной функцией в совпадающих точках, которая плохо определена. (Скажем, в CFT вы сразу знаете, что это бесконечно. Также обратите внимание, что здесь я делаю обычную лоренцевскую QFT, а не радиальное квантование.)

Чтобы решить эту проблему, рассмотрим состояния

$$\int d^dx_1 f(x_1)\phi(x_1)|0\rangle,\quad \int d^dx_1 d^dx_2 f(x_1,x_2)\phi(x_1)\phi(x_2)|0\rangle,\quad\ldots$$ куда $f$являются тестовыми функциями Шварца. Эти состояния имеют конечные нормы (это одна из аксиом Вайтмана, она может быть явно проверена, например, в двух- и трехточечных функциях КТП). Затем определяется вакуумный «сектор сверхотбора» $\mathcal{H}_0$быть гильбертовым пространством состояний, которые могут быть созданы таким образом (обратите внимание, что не все они линейно независимы; их внутренние произведения вычисляются с помощью корреляционных функций). Можно считать это гильбертовым пространством состояний, если вас интересуют только корреляционные функции локальных операторов. Если есть нелокальные операторы, то могут быть и другие сектора, это сильно зависит от того, как вы определяете свою теорию.

Выше мы использовали только$\phi$и это будет теория реального скалярного поля, в более общем смысле вы можете использовать любые локальные операторы, которые у вас есть, для создания новых состояний. Однако важно, что вам не нужны все локальные операторы для создания всех состояний, так как вы можете действовать с одним оператором несколько раз.

Это определяет пространство состояний. Определение пространства локальных операторов немного сложно. В частности, вам понадобится понятие полноты для множества локальных операторов. Я думаю, что правильное требование состоит в том, чтобы ваш набор содержал те операторы, которые вы использовали для определения состояний (например,$\phi$в приведенном выше примере) и что он замкнут при асимптотическом разложении OPE. С помощью этого определения вы можете доказать в CFT, что это разложение ОРЕ на самом деле сходятся в вакууме и, таким образом, все вышеперечисленные состояния могут быть сведены ОРЕ к состояниям, созданным одним локальным оператором из вашего полного набора. Это позволяет вам доказать соответствие оператора-состояния из аксиом Вайтмана + асимптотического OPE.