Внутренний продукт Клейна-Гордона

Изучая скалярное поле и уравнение Клейна-Гордона в квантовой теории поля, я наткнулся на такое определение скалярного произведения в пространстве решений уравнения КГ:

⟨ Φ 1 | Φ 2 ⟩ знак равно я ∫ г Икс → ( Φ 1 * ∂ 0 ↔ Φ 2 ) знак равно я ∫ г Икс → ( Φ 1 * ∂ 0 Φ 2 − Φ 2 ∂ 0 Φ 1 * ) .

Я вижу, что это определение должно быть инвариантным относительно преобразований Пуанкаре, но не смог этого доказать.

Более того, я не мог найти причину, по которой вводится такое скалярное произведение. Существуют ли другие возможные скалярные произведения? Почему именно этот?

Есть о чем подумать: рассмотрим текущие Дж мю знак равно я Φ 1 * ∂ мю Φ 2 − я Φ 2 ∂ мю Φ 1 * и, возможно, установить мю знак равно 0 ... Что вы можете сказать о Дж мю ?
Подробное рассмотрение этого выражения можно найти в этой статье .

Ответы (1)

Скалярный продукт Клейна-Гордона является естественной конструкцией для функций, заданных на массовом гиперболоиде. к 2 знак равно м 2 , потому что если вы напишете свою функцию в импульсном пространстве,

ф ( Икс ) ∼ ∫ г к ~   е − я к Икс а ( к ) + hc
с г к ~ мера по к 2 знак равно м 2 , то коэффициенты Фурье становятся (ссылка 1, раздел 3-1-2)
а ( к ) знак равно ⟨ ф , опыт к ⟩
куда опыт к ⁡ ( Икс ) ≡ е − я к Икс .

Философия такая же, как и в стандартном преобразовании Фурье (или другом интегральном преобразовании, т. е. изменении базиса), где вы можете восстановить функцию в импульсном пространстве с помощью подходящего скалярного произведения с экспоненциальной функцией (или любым другим базисом, который вы используете в своем вычислении). пространство функций). В общем случае форма внутреннего произведения определяется формой интегрального преобразования.

Следует отметить, что даже если ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ является естественной конструкцией, настоящая причина, по которой мы определяем этот конкретный интеграл, заключается в том, что он появляется в доказательстве формулы LSZ для скаляров (ссылка 1, разделы 5-1-4).

использованная литература

  1. Ициксон и Зубер, Квантовая теория поля .
замечание: здесь могут быть какие-то знаки неверные.
Но если у вас есть произвольный внутренний продукт ( , ) Вы получаете ( ф ( Икс ) , опыт к ⁡ ( Икс ) ) знак равно с ( к ) где с ( к ) – коэффициенты разложения ф сейчас, я . е . относительно этого другого произвольного внутреннего продукта ф ( Икс ) знак равно ∫ [ с ( к ) опыт к ⁡ ( Икс ) + с ( к ) * опыт − к ⁡ ( Икс ) ] . Что мешает мне обновиться с ( к ) операторам создания/уничтожения (принимая [ с ( к ) , с ( п ) ] знак равно . . . и т. д.) и квантуя таким образом поле по произвольному скалярному произведению? Я предполагаю, что теперь вопрос сводится к тому, что является определяющим свойством а ( к ) здесь?
@Greg.Paul Ничто не мешает тебе это сделать. Вопрос в том, полезно ли это. В любом случае внутренний продукт по существу уникален: ядро ​​​​является оператором Вронскиана для PDE (см . этот пост PSE ).
Внутренний продукт Клейна-Гордона
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v