Расчет бюджета дельты V от Земли до Меркурия

Контекст

При проверке базовых вычислений для вычисления необходимого бюджета дельты V, чтобы добраться до Меркурия, я испытываю некоторые трудности с интерпретацией числа 8650 м / с от пересечения Земли с Меркурием, как указано на карте метро Солнечной системы, как представлено в этом вопросе .

Кроме того, я заметил, что у меня нет четкого понимания того, что подразумевается под «перехватом Земли». Следовательно, я хотел бы представить свои расчеты дельты V вместе с интерпретацией «(Земли) Пересечения» и спросить, не допустил ли я каких-либо ошибок в своих расчетах и/или предположениях.

Предположения

• «Перехват Земли» означает, что космический корабль достиг космической скорости относительно Земли.
• Сферический радиус Земли составляет примерно 6371000 м.
• Земля считается однородным шаром.
• Высота НОО составляет 250 км над поверхностью Земли.
• $$\mu_{Earth}=GM_{Earth}=3.98*10^14$$
• Космический аппарат может достигать НОО с дельтой V 9400 м/с, из которых 1600 м/с приходится на трение, что дает круговую скорость 7800 м/с вокруг НОО . Проверяя это с помощью уравнения Vis-Viva для$r=a$(круговая орбита). $$V_{Circ-LEO}=\sqrt{\frac{\mu_{Earth}}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{3.98*10^14}{6371000+250000}}=7753.18..\frac{m}{s}$$ Это считается подтвержденным, поскольку на самом деле Лео может находиться на высоте чуть ниже или выше 250 км.
• Затем вычисляется дельта V, необходимая для достижения скорости убегания Земли с НОО, сначала вычисляя скорость убегания на высоте НОО, используя : $$V_{LEO-esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{2\mu_{Earth}}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{2*3.98*10^14}{6371000+250000}}=10964.6\frac{m}{s}$$ И вычитая из этого ранее вычисленную круговую скорость НОО: $$\Delta V_{LEO-Earth-escape}=V_{LEO-esc}-V_{Circ-LEO}=10964.6-7753.18=3211.46 \frac{m}{s}$$ Что, кажется, достаточно близко к бюджету, чтобы достичь точки перехвата Земли с НОО, как показано на карте метро Солнечной системы. Следовательно, это считается проверенным.
• Этот V-побег интерпретируется как космический корабль, способный «свободно» перемещаться в любое положение на земной орбите вокруг Солнца. По сути, у него недостаточно энергии, чтобы двигаться выше или ниже по своей орбите вокруг Солнца, но он «свободен» от хватки Земли/сферы Хилла. (Обратите внимание, что я думаю, что это не совсем точно, потому что для фактического движения по орбите Земли вокруг Солнца потребовалась бы незначительная дельта V).
• Поскольку предполагается, что «Перехват Земли» означает, что космический корабль просто находится где-то на той же высоте орбиты вокруг Солнца, что и Земля, предполагается, что для достижения Меркурия достаточно выйти на круговую орбиту, равную орбите Земли. большая полуось (0,387 а.е.) эллиптической орбиты Меркурия. Можно ударить Меркурия при ударе ради расчета.

Расчеты

На основе этих предположений выполняется фактический расчет от точки пересечения Земли до точки пересечения Меркурия. Сначала уравнения Vis-Viva переписываются для вычисления круговой скорости Земли и Меркурия:

$$\begin{equation} \begin{split} V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_{Earth-Sun}}-\frac{1}{a_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_{Earth-Sun}}-\frac{1}{r_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{1}{r_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Earth-Sun}}}\\ \end{split} \end{equation}$$ Заполнение цифр:

• $\mu_{Sun}=1.33\cdot 10^{20} \frac{m^3}{s^2}$
• $r_{Earth-Sun}=1.496\cdot 10^{11} m$Урожайность: $$\begin{equation} \begin{split} V_{Earth}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Earth-Sun}}}\\ V_{Earth}=\sqrt{\frac{1.33\cdot 10^{20}}{1.496\cdot 10^{11}}}=29816.73075900643\frac{m}{s}\\ \end{split} \end{equation}$$ Затем можно вычислить орбитальную скорость Меркурия вокруг Солнца, используя$r_{Mercury-Sun}=0.387\cdot 1.496\cdot 10^{11}$:

$$\begin{equation} \begin{split} V_{Mercury}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Mercury-Sun}}}\\ V_{Mercury}=\sqrt{\frac{1.33\cdot 10^{20}}{0.387\cdot1.496\cdot 10^{11}}}=47929.68129706198\frac{m}{s}\\ \end{split} \end{equation}$$

Отсюда требуемый$\Delta V$можно вычислить как:

$$\begin{equation} \Delta V_{Mercury}=V_{Mercury}-V_{Earth}=47929.68129706198-29816.73075900643=18112.95053805555\frac{m}{s} \end{equation}$$ Однако это $$18112.95053805555\frac{m}{s}$$ находится не по соседству $$8650\frac{m}{s}$$ показан для перехвата Земли с перехватом Меркурия.

Код расчетов

Для полноты картины вот код Python, который выполнял фактические вычисления от перехвата Земли до перехвата Меркурия:

import math

# Initialize parameters:
mu_sun=1.33*10**20
r_earth_sun=1.496*10**11
r_mercury_sun_au=0.387
r_mercury_sun=r_mercury_sun_au*r_earth_sun

# Compute orbital velocities
v_earth=(mu_sun/r_earth_sun)**0.5
print(f'v_earth=\n{v_earth}')

v_mercury=(mu_sun/r_mercury_sun)**0.5
print(f'v_mercury=\n{v_mercury}')

dv_mercury=v_mercury-v_earth
print(f'dv_mercury=\n{dv_mercury}')

Вопрос

Что я сделал не так, рассчитывая расстояние от Земли до Меркурия?