Расчет конечной скорости двух сталкивающихся протонов?

Как вы сказали, сила Кулона — это внутренняя сила. Следовательно, импульс всегда сохраняется, и оба метода дадут один и тот же ответ (первый).

Вы должны осознать три вещи:

1. Сохранение импульса — это просто еще один способ представления законов Ньютона.
2. Это ситуация абсолютно упругого столкновения с$e=1$. Здесь отталкивание между протонами действует как пружина.

3. При столкновении двух тел всегда должен наступить момент, когда оба тела будут двигаться с одинаковой скоростью. Когда это происходит, потенциальная энергия внутри системы максимальна. В вашем случае, после того как тела приобретут равные скорости, внутренние кулоновские силы оттолкнут протоны и унесут их так, что они поменяются скоростями.

Но когда кончится столкновение?

Допустим, это начальная электрическая потенциальная энергия системы:$U_{electric-initial}= k\frac {q^2}{r}$

Столкновение закончится, когда$U_{electric-final}=U_{electric-inital}$

Это если конечно в области классической механики. В действительности, когда два протона сталкиваются, они могут создавать новые частицы.

tl;dr Для бесконечного начального разделения конечные скорости данных частиц$P_1,P_2$действительно было бы$0,\sqrt{2 m_2E}$где$E$- полная начальная энергия системы

Требуются некоторые уточнения

и p1 движется с равномерной горизонтальной скоростью

При кулоновском рассеянии двух зарядов падающий заряд не может сохранять постоянную скорость. Он обязательно испытывает ускорение в поле исходного заряда.

Я рассматривал Колумбийскую Силу как внутреннюю силу.

Независимо от вашего рассмотрения, кулоновское взаимодействие следует считать внутренним из соображений сохранения энергии и импульса, поскольку оно действует одинаково и противоположно на два заряда.

Для упругого столкновения$\ldots$

Строго говоря, столкновение не является упругим, так как даже при нерелятивистских скоростях происходит некоторая потеря энергии на электромагнитное излучение . Однако для наших целей мы можем считать его пренебрежимо малым.

$\ldots$из двух объектов$\ldots$

При достаточно низких энергиях изначально два протона сохраняют свой счет, но не обязательно при более высоких энергиях, когда могут создаваться новые частицы. Однако при таких невероятно высоких энергиях также вероятно, что протон-протонное взаимодействие больше не является чисто электромагнитным, и поэтому наша модель в любом случае неприменима.

$\ldots$конечная скорость p1 определяется выражением$\ldots$

Формулы, которые вы использовали, используются при жестком рассеянии точечных объектов - объект имеет входящие скорости$u_i$, исходящие скорости$v_i$и взаимодействуют только в вершине взаимодействия. Вечно до и после они не взаимодействуют и имеют одинаковые скорости. Эта модель неверна для наших двух сталкивающихся протонов.

На самом деле правильнее было бы назвать это протон-протонным или рр-рассеянием, а не классически обозначаемым «столкновением», хотя это и не криминально.

Критика «Первый способ анализа столкновения»

Несмотря на упомянутую выше неприменимость модели жесткого рассеяния, в вашем приложении есть дополнительные проблемы:

• В формулах используется$u_2$- начальная скорость второго протона$P_2$. Вы приняли это за$0$. Почему? Как вы вскоре заявите в своем втором подходе, второй протон приводится в движение из-за его взаимодействия с приближающейся частицей. Единственный раз, когда он находится в состоянии покоя в лабораторной рамке, это начало нашего анализа. Итак, оценивая формулы в этот момент (вот что$u_2=0$подразумевает) вряд ли считается оценкой их «конечных» скоростей. Разве вы не согласитесь, что лучшим моментом для обозначения «моментом столкновения» был бы момент наибольшего сближения, если не какой-либо иной? Без обоснования применения формул в начальной эпохе трактовка не аргументирована.
• При мягком рассеянии скорости протонов постоянно меняются. Единственные осмысленные «начальные» и «конечные» скорости, о которых следует говорить, — это те, когда силы, действующие на каждую из них, равны нулю. Это происходит, когда их разделение бесконечно. С этой целью вы не упомянули,$P_1$имеет скорость$a$на бесконечности или на некотором конечном расстоянии от$P_2$.

Тем не менее, окончательный результат, к которому вы приходите с помощью своих рассуждений в этом подходе, является правильным. В бесконечной разлуке$^1$, конечные скорости данных частиц$P_1,P_2$действительно было бы$0,\sqrt{2 m_2E}$где$E$- полная начальная энергия системы$^2$.

Почему формулы жесткого рассеяния работают так, как предполагалось? Это связано с тем, что, когда мы считаем, что начальное и конечное состояния рассеяния находятся на бесконечном расстоянии друг от друга, относительно этих эпох мы можем связать кулоновское (или любое взаимодействие в этом отношении) с внутренним механизмом вершины взаимодействия. Формулы жесткого рассеяния не зависят от внутренностей этой вершины столкновения и ведут себя так, как если бы входящая частица столкнулась с другой частицей - единственная разница в том, что вершина больше не точка, а все пространство и время взаимодействия не мгновение, а бесконечность. . Если это действительно то, что побудило вас к такому подходу, это не было ясно из вашего вопроса.

Критика «Второго способа анализа столкновения»

Единственное, чего здесь не хватало, так это того, чтобы вы останавливали свой анализ в момент наибольшего приближения. Почему? Как обсуждалось в предыдущем разделе, конечные скорости — это скорости, когда частицы снова удаляются друг от друга на бесконечно большое расстояние. Так что после их относительно стационарного момента наибольшего сближения их взаимное отталкивание отталкивает их. Более того, из-за симметрии задачи в системе СОМ кинематика за пределами этой эпохи точно такая же, как если бы предшествующая эпоха была обращена во времени.

---

Нижний колонтитул

$^1$Предполагая, что частицы изначально также были бесконечно разделены; однако есть способ распространить аргумент на конечные расстояния.

$^2$Для данной конфигурации

$$E=\frac{m_1 a^2}{2}+\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{L}\tag{SI units}$$

где$L$является начальным разделением двух зарядов.