Почему собственные пространства эрмитова оператора взаимно ортогональны? [закрыто]

Любые наблюдаемые волновой функции должны иметь эрмитову форму, что означает, что их собственные значения должны быть действительными, и вы всегда можете найти ортогональный базис из собственных состояний, связанных с этими значениями, даже если они вырождены.

Эрмитова матрица - это та, которая равна своему эрмитовому сопряжению:

$$A=A^\dagger=\overline{A^T}$$

Мы можем доказать ортогональность собственных векторов эрмитовой матрицы для различных собственных значений:

У нас есть два собственных вектора, связанных с разными собственными значениями

$$Av^i=\lambda_i v^i$$ $$Av^j=\lambda_j v^j$$

Возьмем эрмитово сопряженное$\lambda_i$случае и действовать по праву$v^j$:

$$(v^i)^\dagger A^\dagger v^j = \overline{\lambda_i }(v^i)^\dagger v^j=\lambda_i (v^i)^\dagger v^j$$ Так как собственные значения действительны.

Мы также можем умножить$\lambda_j$корпус слева от$(v^i)^\dagger$:

$$(v^i)^\dagger A v^j=\lambda_j (v^i)^\dagger v^j$$

С$A=A^\dagger$у нас есть:

$$0=(\lambda_i-\lambda_j)(v^i)^\dagger v^j$$

Поскольку собственные векторы относятся к разным значениям,$\lambda_i≠\lambda_j$затем$(v^i)^\dagger v^j=0$что подразумевает ортогональность. В случае вырожденных собственных значений мы можем использовать ортогонализацию Грама-Шмидта для создания ортогонального базисного набора, поскольку любая линейная сумма собственных векторов собственного значения также является собственным вектором этого значения.

Нормальность следует из того, что если$v^i$является собственным вектором$A$с собственным значением$\lambda_i$затем$\alpha v^i$также, поэтому вы можете нормализовать эти значения.