Гауссовский волновой пакет

Question

Гауссовский волновой пакет

Физика
волновая функция
преобразование Фурье
квантовая механика
домашнее задание и упражнения
Гейзенберг-принцип-неопределенности

71GA

На вступлении к QM наш профессор сказал, что мы выводим принцип неопределенности , используя интеграл плоских волн $\psi = \psi_0(k) e^{i(kx - \omega t)}$ над волновыми числами $k$ . Мы делаем это в $t=0$ следовательно $\psi = \psi_0(k) e^{ikx}$

ψ "=" \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{0} (к) \cdot е^{я к Икс} д к

$\psi = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi_0\!(k) \cdot e^{ikx} \, \textrm{d} k$

где $\psi_0(k)$ это $k$ -зависимый коэффициент нормализации (пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь). Эту зависимость называют функцией Гаусса.

ψ_{0} (к) "=" ψ_{0} е^{я (к - к_{0})^{2} / 4 о к^{2}}

$\psi_0(k)= \psi_0 e^{i(k-k_0)^2/4\sigma k^2}$

где $\psi_0$ — обычный нормировочный коэффициент (пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь).

ВОПРОС 1: Почему мы выбираем $\psi_0(k)$ как функция Гаусса? Почему эта функция так уместна в данном случае?

ВОПРОС 2: Я не знаю, как наш профессор получил функцию Гаусса с мнимым числом $i$ в этом. Его гауссиана совсем не похожа на ту, что есть в Википедии .

ф (Икс) "=" а е^{- (Икс - б)^{2} / 2 с^{2}}

$f(x) = a e^{-(x-b)^2/2c^2}$

ВОПРОС 3: Мы использовали первый интеграл, который я записал, для расчета принципа неопределенности Гейзенберга, как показано ниже, но мне кажется, что большая часть шагов отсутствует, и именно по этой причине я этого не понимаю. Может ли кто-нибудь объяснить мне пошагово, как это сделать.

\begin{aligned} ψ & "=" \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{0} (к) \cdot е^{я к Икс} д к \\ ψ & "=" \int_{- \infty}^{+ \infty} ψ_{0} е^{я (к - к_{0})^{2} / 4 о к^{2}} \cdot е^{я к Икс} д к \\ ψ & "=" ψ_{0} 2 \sqrt{π} е^{я к_{0} Икс} е^{- Икс / 2 о к^{2}} \end{aligned}

$\begin{split} \psi &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi_0\!(k) \cdot e^{ikx} \, \textrm{d} k\\ \psi &= \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \psi_0 e^{i(k-k_0)^2/4\sigma k^2} \cdot e^{ikx} \, \textrm{d} k\\ \psi &= \psi_0 2 \sqrt{\pi} e^{ik_0x} e^{-x/2 \sigma k^2} \end{split}$

Я думаю, что это связано с интегралом Гаусса , но мне это не совсем нравится. Ну и в конце наш профессор просто говорит, что из вышесказанного следует, что

дельта Икс дельта к "=" \frac{1}{2}

$\boxed{\delta x \delta k = \frac{1}{2}}$

Я тоже этого не понимаю. Это было слишком быстро или я.

Виберт

Для вопроса 1): во-первых, ваш учитель, вероятно, думал о волновых пакетах, которые интуитивно более или менее гауссовы - нетрудно думать, что волновой пакет должен иметь какое-то среднее волновое число.

k_{0}

$k_0$ и некоторая дисперсия

σ

$\sigma$ . Есть и математическая причина: оценка, которую вы получаете, верна для всех возможных

L^{2}

$L^2$ функции, и насыщает ее только гауссиана. Таким образом, помимо полного доказательства, это самый интересный тестовый пример, с которым вы можете работать.

Эмилио Писанти

Кажется, тег домашнего задания применяется, даже если это на самом деле не проблема с домашним заданием.

Руслан

Волновая функция Гаусса выбрана потому, что она минимизирует значение неопределенности до

ℏ / 2

$\hbar/2$ . Для любой другой формы неопределенность выше.

Ответы (1)

Гауссовский волновой пакет

Для вопроса 1): во-первых, ваш учитель, вероятно, думал о волновых пакетах, которые интуитивно более или менее гауссовы - нетрудно думать, что волновой пакет должен иметь какое-то среднее волновое число. $k_0$ и некоторая дисперсия $\sigma$ . Есть и математическая причина: оценка, которую вы получаете, верна для всех возможных $L^2$ функции, и насыщает ее только гауссиана. Таким образом, помимо полного доказательства, это самый интересный тестовый пример, с которым вы можете работать.
Кажется, тег домашнего задания применяется, даже если это на самом деле не проблема с домашним заданием.
Волновая функция Гаусса выбрана потому, что она минимизирует значение неопределенности до $\hbar/2$ . Для любой другой формы неопределенность выше.

JKL · Answer 1

Трудно сказать, что именно сделал профессор, но, насколько я понял, он попытался помочь ситуации.

Q1. Функция Гаусса выбрана для представления свободно расширяющейся волновой функции по нескольким причинам:

(i) Функция Гаусса представляет собой нормальную функцию распределения вероятностей. С $|\psi(x)|^2$ представляет собой функцию распределения вероятностей для огромного класса частиц, движущихся сходным образом и имеющих импульс в определенном диапазоне. Теорема больших чисел указывает на функцию Гаусса, представляющую волновую функцию частиц в области пространства, определяемой ширина, $\sigma$ , функции Гаусса. $\sigma$ также является стандартным отклонением, т. е. неопределенностью положения частицы.

(ii) Математическое ожидание положения частицы оказывается значением $b$ в вашем волновом пакете Гаусса.

(iii) Гауссовский волновой пакет также содержит волнообразный бит, показанный фазовым коэффициентом

$e^{ikx}$ .

Это то, что делает гауссовы волновые пакеты отличным представлением частиц, которые, как известно, расположены в некоторой области ширины $w$ , но тем не менее все они движутся как плоские волны, в то время как пакет движется в пространстве.

(iv) Волновой пакет состоит из бесконечно большого числа значений импульса в импульсной ширине, которая относится к $\sigma$ преобразованием Фурье.

Q2. Итак, чтобы упорядочить все это, давайте рассмотрим общую функцию Гаусса

$\psi(x)=\psi_0e^{-A(x-x_0)^2+Bx+C}$

который имеет преобразование Фурье

$\psi(k)=\psi_0\sqrt{\frac{\pi}{A}}e^{\frac{B^2}{4A}+Bx_0+C}$ .

Константа нормализации $\psi_0$ дается интегрированием в диапазоне [- $\infty, +\infty$ ] и имеет значение $\sqrt{\frac{A}{\pi}}$ но оставить как $\psi_0$ .

Q3. Чтобы связаться с вашим профессором, попробуйте применить эти результаты, используя следующее:

$A=\frac{1}{2\sigma^2}$

$B=ik$

$x_0=b$

$C=0$

Я думаю, что наш профессор читал лекции, используя этот документ ( tjhsst.edu/~2011akessler/notes/hup.pdf ), где они используют простой корень гаусса, так что вот где он получил $\psi_0(k)$ : $\psi_0(k)= \sqrt{\text{gauss}} = \sqrt{\psi_0 e^{-(k-k_0)^2/2\sigma_k^2}} = \psi_0 e^{-(k-k_0)^2/4\sigma_k^2}$
@71GA Спасибо за ваши заметки. Я не думаю, что квадратный корень должен иметь какое-либо значение для формы принципа неопределенности, поскольку он только вводит масштабный коэффициент 1/2. Не уверен, почему лучше пройти через квадратный корень.

Гауссовский волновой пакет

71GA

Виберт

Эмилио Писанти

Руслан

Ответы (1)

JKL

71GA

JKL

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Был ли принцип неопределенности выведен анализом Фурье?

Волновая функция прямоугольного окна ψψ\psi и исчисление ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для нее

О чем говорит принцип неопределенности Гейзенберга?

Решение уравнения Шредингера для свободной частицы с преобразованиями Фурье

Переход из координатного пространства в импульсное для SHO

Дисперсия гауссового волнового пакета - почему импульс становится более определенным?

Трехмерные волновые пакеты в импульсном пространстве

Принцип измерения и неопределенности в QM

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом