Эквивалентная версия принципа неопределенности энергии времени внезапного приближения?

Question

Эквивалентная версия принципа неопределенности энергии времени внезапного приближения?

Физика
операторы
гамильтониан
волновая функция
квантовая механика
Гейзенберг-принцип-неопределенности

Более анонимно

Фон

Итак, скажем, у меня есть $2$ частицы, взаимодействующие с потенциалом $V(\vec r_1- \vec r_2)$ . Гамильтониан этой системы определяется выражением:

ЧАС ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) "=" \frac{{\vec{п}}_{1} \cdot {\vec{п}}_{1}}{2 м} ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) + \frac{{\vec{п}}_{2} \cdot {\vec{п}}_{2}}{2 м} ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) + В ({\vec{р}}_{1} - {\vec{р}}_{2}) ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2})

$H \psi( \vec r_1, \vec r_2) = \frac{ \vec p_1 \cdot \vec p_1 }{2m} \psi( \vec r_1, \vec r_2) + \frac{\vec p_2 \cdot \vec p_2}{2m} \psi( \vec r_1, \vec r_2) + V(\vec r_1 - \vec r_2 ) \psi( \vec r_1, \vec r_2)$

Где $H$ гамильтониан, $p_i$ это импульс $i$ частица и $V(\vec r_1 - \vec r_2)$ - относительное положение между обеими волновыми функциями $\psi(x_1,x_2)$ . Теперь, скажем, я «внезапно» уменьшил смещение на $\vec c$ .

Но внезапным приближением я могу легко записать новый гамильтониан в виде:

{ЧАС}^{'} ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) "=" \frac{{\vec{п}}_{1} \cdot {\vec{п}}_{1}}{2 м} ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) + \frac{{\vec{п}}_{2} \cdot {\vec{п}}_{2}}{2 м} ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) + В ({\vec{р}}_{1} - {\vec{р}}_{2} - \vec{с}) ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2})

$H' \psi( \vec r_1, \vec r_2) = \frac{ \vec p_1 \cdot \vec p_1 }{2m} \psi( \vec r_1, \vec r_2) + \frac{\vec p_2 \cdot \vec p_2}{2m} \psi( \vec r_1, \vec r_2) + V(\vec r_1 - \vec r_2 -\vec c) \psi( \vec r_1, \vec r_2)$

Где есть «внезапное» изменение гамильтониана:

ЧАС \to {ЧАС}^{'}

$H \to H'$

Однако, поскольку Вселенная заботится только об относительном положении, а не о фактическом положении (вставьте сюда общую философию относительности), должно быть невозможно отличить эту ситуацию от, скажем, ситуации, когда волновые функции «внезапно» были переведены оператором перевода ( для частицы $2$ ) $T_{2}(\vec c)$

ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) \to Т_{2} (\vec{с}) ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) "=" ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2} + \vec{с}) "=" ψ^{'} ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2})

$\psi( \vec r_1, \vec r_2) \to T_{2}(\vec c) \psi ( \vec r_1, \vec r_2) = \psi( \vec r_1, \vec r_2 + \vec c) = \psi'( \vec r_1, \vec r_2)$

Энергии обоих эквивалентны, как и ожидалось:

⟨ ψ | {ЧАС}^{'} | ψ ⟩ "=" ⟨ ψ^{'} | ЧАС | ψ^{'} ⟩

$\langle \psi| H'| \psi \rangle = \langle \psi' | H| \psi' \rangle$

Вопрос

Верен ли мой первоначальный анализ? Так же, как у меня есть принцип неопределенности для "внезапного" (диабатического) приближения для:

ЧАС \to {ЧАС}^{'}

$H \to H'$

Могу ли я вывести принцип неопределенности для эквивалентного переноса внезапной волновой функции?

ψ ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2}) \to ψ^{'} ({\vec{р}}_{1}, {\vec{р}}_{2})

$\psi( \vec r_1, \vec r_2) \to \psi'( \vec r_1, \vec r_2)$

Ответы (1)

Эквивалентная версия принципа неопределенности энергии времени внезапного приближения?

По симметрии · Answer 1

Ваш анализ кажется мне по существу правильным. Чтобы изменить условие справедливости внезапного приближения, обратите внимание, что ваш результат может быть записан

{ЧАС}^{'} "=" Т_{2}^{†} (с) ЧАС Т_{2} (с) .

$H' = T_2^\dagger(c)\, H\, T_2(c)\;.$

Условие достоверности внезапного приближения, данного на странице вики, на которую вы ссылаетесь, заключается в том, что

ζ ≪ 1

$\zeta \ll 1$ где

\begin{aligned} ζ & "=" \frac{т^{2}}{ℏ^{2}} (⟨ {\bar{ЧАС}}^{2} ⟩_{0} - ⟨ \bar{ЧАС} ⟩_{0}^{2}) \\ \bar{ЧАС} & "=" \frac{1}{т} \int_{0}^{т} г т ЧАС (т) \end{aligned}

$\begin{align} \zeta &= \frac{\tau^2}{\hbar^2}\left(\langle \bar{H}^2 \rangle_0 - \langle \bar{H} \rangle_0^2 \right)\\ \bar{H} &= \frac{1}{\tau} \int_0^\tau dt\; H(t) \end{align}$ и

⟨ \cdot ⟩_{0}

$\langle \cdot \rangle_0$ обозначает ожидание относительно состояния в

t = 0

$t=0$ и

τ

$\tau$ это время, необходимое для того, чтобы произошел внезапный процесс.

Предположим теперь, что мы можем написать

ЧАС (т) "=" U^{†} (т) ЧАС U (т)

$H(t) = U^{\dagger}(t) H U(t)$ для всех

0 \leq t \leq τ

$0 \le t \le \tau$ , с

U (0) = 1

$U(0) = 1$ ,

U (τ) = T_{2} (c)

$U(\tau) = T_2(c)$ и

U (t)

$U(t)$ единый оператор для всех

t

$t$ . Например, у нас может быть

U (т) "=" Т_{2} (с \frac{т}{т})

$U(t) = T_2\left(c \frac{t}{\tau}\right)$ в соответствующем регионе, но точная форма будет зависеть от деталей процесса, который вы пытаетесь приблизить.

Теперь мы можем определить

\begin{aligned} | ψ (т) ⟩ & "=" U (т) | ψ (0) ⟩ \\ ⟨ А ⟩_{т} & "=" ⟨ ψ (т) | А | ψ (т) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi(t)\rangle &= U(t)|\psi(0)\rangle\\ \langle A \rangle_t &= \langle \psi(t)| A | \psi(t) \rangle \end{align}$ Собрав все это вместе, мы находим

ζ "=" \frac{1}{ℏ} \int_{0}^{т} г т (⟨ {ЧАС}^{2} ⟩_{т} - ⟨ ЧАС ⟩_{т}^{2})

$\zeta = \frac{1}{\hbar}\int_0^\tau\;d t \left(\langle H^2 \rangle_t - \langle H \rangle_t^2\right)$

Хм... В моей голове я знаю, что принцип неопределенности энергии времени должен быть таким же. Является $\langle \bar H^2 \rangle_0 = \langle \bar H'^2 \rangle_0$ ?
Возможно, я неправильно понял, что вы имели в виду под принципом неопределенности в этом контексте (неопределенность энергии времени сложно определить). Я исходил из того, что было в ссылке на Википедию. $\bar{H}$ является «средним» гамильтонианом во время быстрого процесса, поэтому он находится где-то между $H$ и $H'$ . Это означает, что понятие $\bar{H}'$ не имеет смысла
Я думаю, что мой первый вопрос был поставлен плохо. Позвольте мне перефразировать: у меня есть $2$ эквивалентные способы определения $H'$ : $H' = H - V(\vec r_1 - \vec r_2) + V(\vec r_1 - \vec r_2 - \vec c)$ другой, как вы утверждаете: $H' = T_2^\dagger(\vec c) H T_2(\vec c)$ . Приводят ли оба этих гамильтониана к одному и тому же принципу неопределенности? не вижу проблем в $\langle \bar H \rangle_t$ но я беспокоюсь в $\langle \bar H^2 \rangle_t$
Ключевым требованием здесь является то, чтобы оператор, которого я вызвал, $U$ обратим (и действительно должен быть унитарным, иначе у вас будут проблемы с нормализацией состояний). В этом случае $H^2(t) = U^{-1}(t) H U(t)U^{-1}(t)H U(t) = U^{-1}(t) H^2 U(t)$ что подразумевает, что $\langle H^2(t) \rangle_0 = \langle H^2 \rangle_t$ . унитарное $T_2(c)$ на самом деле является математическим содержанием вашей «общей философии относительности» о вселенной, не заботящейся о том, куда вы поместите сдвиг.
На самом деле, глядя на это еще раз, этого недостаточно для $U$ быть обратимым. $U$ должен быть полностью унитарным.
Я подожду, пока вы измените свой ответ;) ... Я очень запутался в этом

Эквивалентная версия принципа неопределенности энергии времени внезапного приближения?

Более анонимно

Фон

Вопрос

Ответы (1)

По симметрии

Более анонимно

По симметрии

Более анонимно

По симметрии

По симметрии

Более анонимно

Расчет ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle и ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для волновой функции [закрыто]

Волновая функция прямоугольного окна ψψ\psi и исчисление ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle для нее

Как оператор применяется к волновой функции в квантовой механике? [закрыто]

Какая связь между определением принципа неопределенности с использованием стандартных отклонений и использованием ΔxΔx\Delta x и ΔpΔp\Delta p?

Коммутатор и факторизация собственных функций.

Какова интуитивная интерпретация квантовой неопределенности? {A} = \ sqrt {\ langle \ hat {A} ^ 2 \ rangle- \ langle \ hat {A} \ rangle ^ 2}?

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Выполняется ли уравнение неопределенности Гейзенберга, когда одна из наблюдаемых имеет нулевую дисперсию?

Как некоммутативность приводит к неопределенности?

Ожидаемое значение гамильтониана?