Расчет распада μ→eγμ→eγ\mu\rightarrow e\gamma и сокращения между диаграммами

Question

Расчет распада μ→eγμ→eγ\mu\rightarrow e\gamma и сокращения между диаграммами

СРС

В книге «Калибровочная теория элементарных частиц — Ченг и Ли, раздел 13.3, $\mu\rightarrow e\gamma$ амплитуда затухания рассчитывается в $R_{\xi}$ измерять. Что касается этого вывода, у меня застрял с парой вопросов.

(i) Я думаю, что это вычисление было бы проще в унитарной калибровке, так как в этом случае у нас не будет петель с нефизическим бозоном Хиггса. Я не могу понять, почему это не рассчитывается в унитарном калибре. Думаю, эта амплитуда должна давать конечный и идентичный результат и в унитарной калибровке. Не так ли?

Есть ли какие-либо другие полезные ссылки, где диаграммы, такие как $\mu\rightarrow e\gamma$ , $\mu\rightarrow e\nu\bar{\nu}$ и т.д. вычисляются с достаточной степенью детализации?

(ii) Хотя это объясняется в одном утверждении, мне не ясно, как вклады четырех диаграмм на рисунке 13.6(e) сокращаются от аналогичных членов, появляющихся на диаграммах 13.6(a)-(d).

(iii) Почему они сказали, что «нам нужно сосредоточиться на $p\cdot \epsilon$ срок в уравнении. 13.79. Что они упустили $\gamma\cdot\epsilon$ срок? Я предполагаю, что это $\gamma\cdot\epsilon$ диаграмм 13.6(a)-(d), компенсируется вкладами четырех диаграмм 13.6(e). Но настолько ли тривиальна эта отмена, чтобы их вообще не нужно было вычислять?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Амплитуда инвариантного перехода Лоренца пропорциональна $T(\mu\rightarrow e\gamma)\sim \bar{u}_e\sigma_{\mu\nu}(A+B\gamma_5)u_\mu$ . Затем он утверждает, что если пренебречь массой электрона, т.е. $m_e=0$ приводит к $A\approx B$ . Как это работает? В другом случае, когда мы не бросаем массу электрона, амплитуда пропорциональна $T(\mu\rightarrow e\gamma)\sim \bar{u_{e}} i \sigma_{\mu\nu}q^\nu[m_e(1-\gamma_5)+m_\mu(1+\gamma_5)]u_\mu$ . С $m_e=0$ , тем не менее, лоренц-инвариантная амплитуда перехода от Ченга и Ли может быть воспроизведена. Вторую пропорциональность я тоже не смог доказать.

Я использовал тот факт, что операторы $\sigma_{\mu\nu}$ и $\sigma_{\mu\nu}\gamma_5$ соединяет левокиральное состояние с правокиральным, т.е. $\bar{\psi}\sigma_{\mu\nu}\psi=\overline{\psi_R}\sigma_{\mu\nu}\psi_L+\overline{\psi_L}\sigma_{\mu\nu}\psi_R$ и то же самое для $\sigma_{\mu\nu}\gamma_5$ . Используя их, я перешел к шагу

Т (мю \to е γ) \sim А \bar{{ты}_{е л}} о_{мю ν} {ты}_{мю р} + А \bar{{ты}_{е р}} о_{мю ν} {ты}_{мю л} + Б \bar{{ты}_{е л}} о_{мю ν} γ_{5} {ты}_{мю р} + Б \bar{{ты}_{е р}} о_{мю ν} γ_{5} {ты}_{мю л}

$T(\mu\rightarrow e\gamma)\sim A\overline{u_{eL}}\sigma_{\mu\nu}u_{\mu R}+A\overline{u_{eR}}\sigma_{\mu\nu}u_{\mu L}+B\overline{u_{eL}}\sigma_{\mu\nu}\gamma_5 u_{\mu R}+B\overline{u_{eR}}\sigma_{\mu\nu}\gamma_5 u_{\mu L}$

Но мне непонятно, как это свести к выражению вида $T(\mu\rightarrow e\gamma)\sim i \sigma_{\mu\nu}q^\nu[m_e(1-\gamma_5)+m_\mu(1+\gamma_5)]$ или в $m_e=0$ ограничение $T(\mu\rightarrow e\gamma)\sim \bar{u_{e}}i \sigma_{\mu\nu}q^\nu[m_\mu(1+\gamma_5)]u_\mu$ ?

изометрия

(ii) и (iii). Ранее он использовал калибровочную инвариантность для обоснования формы 13.76. Таким образом, он утверждает, что любые члены, которые не соответствуют этой форме, должны сокращаться, чтобы удовлетворять калибровочной инвариантности. Я не смотрел глубже, чем это.

СРС

Если пройти по шагам, 13,76 — это не что иное, как уравнение 13,79, записанное по-другому. Четыре диаграммы 13.6(e) напоминают термин

\sim m_{μ} {\bar{u}}_{e} γ \cdot ϵ u_{μ}

$\sim m_\mu \bar{u}_e\gamma\cdot\epsilon u_\mu$ в 13.79. Так что я не понимаю аргумент не рассматривать эти диаграммы.

изометрия

Да, присмотревшись, я вижу ваше замешательство. Нет, не ясно. Извините, мне нужен эксперт.

изометрия

Я попытался в своем ответе проанализировать его логику: я, вероятно, дошел до вас.

Кот Милтон

На самом деле это не может быть древовидная диаграмма.

Ответы (4)

Расчет распада μ→eγμ→eγ\mu\rightarrow e\gamma и сокращения между диаграммами

(ii) и (iii). Ранее он использовал калибровочную инвариантность для обоснования формы 13.76. Таким образом, он утверждает, что любые члены, которые не соответствуют этой форме, должны сокращаться, чтобы удовлетворять калибровочной инвариантности. Я не смотрел глубже, чем это.
Если пройти по шагам, 13,76 — это не что иное, как уравнение 13,79, записанное по-другому. Четыре диаграммы 13.6(e) напоминают термин $\sim m_\mu \bar{u}_e\gamma\cdot\epsilon u_\mu$ в 13.79. Так что я не понимаю аргумент не рассматривать эти диаграммы.
Да, присмотревшись, я вижу ваше замешательство. Нет, не ясно. Извините, мне нужен эксперт.
Я попытался в своем ответе проанализировать его логику: я, вероятно, дошел до вас.
На самом деле это не может быть древовидная диаграмма.

Вед · Answer 1

(i) Нецелесообразно выполнять расчеты петель в унитарной калибровке из-за взрыва пропагатора для W-бозона в ультрафиолетовом пределе, поскольку петля включает интегрирование по импульсам. Перенормируемость (пертурбативность) также скрывается за счет использования унитарной калибровки. Поэтому я сомневаюсь, что вы найдете какую-либо хорошую ссылку на расчет цикла с использованием унитарной калибровки в этом случае.

(ii) Такой термин, как $\bar u\gamma_\mu u$ можно извлечь из петлевых диаграмм (a)-(d), отметив вершину, в которой присутствует фермионная линия, и фермионный пропагатор вносит один гамма-фактор. Приходят три гаммы, некоторые из которых умножаются на $\gamma_5$ . некоторые отношения двойственности, такие как $\epsilon_{abcd}\gamma^{bcd}=i\gamma_5\gamma_a$ и простая гамма-технология будет производить $\bar u\gamma_\mu u$ и $\bar u\gamma_{\mu\nu} u$ тип термин. [ $\gamma_{\mu\nu}$ такой же, как ваш $\sigma_{\mu\nu}$ (кроме какого-то числового фактора, вероятно)]

(iii) Срок $\gamma\centerdot\epsilon$ не отменяется на диаграммах, но отбрасывается по условию реальности испускаемого фотона. Простая формулировка термина нарушает калибровочную инвариантность. Чтобы увидеть это явно, $\epsilon^\nu \bar u_e(1+\gamma_5)\gamma_\nu u_\mu$ с $\epsilon^\nu$ удалено, работайте с $q^\nu$ на $\bar u_e (1+\gamma_5)\gamma_\nu u_\mu$ и запишите q как q-p+p, а затем используйте уравнение Дирака в импульсном пространстве для мюона и электрона, и вы увидите, что оно не обращается в нуль.

Для части редактирования: в безмассовом пределе электрона вы можете выбрать определенную спиральность, и связь W-бозона будет с левым электроном. С стержневой формой спинора электрона в основном требуется умножить его на $1+\gamma_5$ . Это составляет $(1+\gamma_5)(A+B\gamma_5)$ или $A(1+\gamma_5)+B(1+\gamma_5)$ как $\gamma_5$ коммутирует с $\sigma_{\mu\nu}$ . Таким образом, оба члена, включающие A и B, соответствуют одному и тому же матричному элементу в пределе безмассового электрона, поэтому их можно считать равными.

Ваш ответ на номер 3 неверен. Причина в том, что нужно определить только один параметр, поэтому нужно учитывать только член p.eps. п. eps также не удовлетворяет идентичности подопечных, но 2 p.eps - m eps.gamma удовлетворяет.

изометрия · Answer 2

Чтобы ответить на части (ii) и (iii), следуйте логике уравнения 13.73:

В общем случае можно иметь 3 типа терминов:
$q^\nu\sigma_{\lambda\nu}$
$\gamma_\lambda$
$q_\lambda$

Затем он доказывает, что в окончательном решении допускаются только первые из этих трех. Вот как он достигает 13.76.

Поскольку мы знаем, что в итоге должны получить форму 13.76, мы можем игнорировать любые диаграммы или термины внутри диаграмм, которые не имеют этой формы.

Теперь о запутанном моменте: оправдав отказ от всех терминов $\gamma_\lambda$ тип, затем он использует разложение Гордона в 13.79, чтобы заменить $i\sigma_{\lambda\nu}q^\nu\epsilon^\lambda$ к $(2p\centerdot\epsilon - m_\mu\gamma\centerdot\epsilon)$ который, кажется, приносит $\gamma_\lambda$ термин обратно. Кажется, это то, что вас смутило.

Обжоров · Answer 3

Очень поздно на вечеринку, но явный расчет $\mu\rightarrow e\gamma$ можно найти в главе «Процессы изменения вкуса» в моих заметках QFT, которые доступны на https://hepnotes.com .

доктор · Answer 4

iii) Он игнорирует $\gamma.\epsilon$ срок, потому что ему нужно только определить $A$ , который можно определить по коэффициенту $p.\epsilon$ срок.

Что касается вашего четвертого вопроса, $A+B\gamma^5=(A-B)P_L+(A+B)P_R$ . Поскольку слабое взаимодействие взаимодействует только с левым электроном, мы хотим $A=B$ .

Расчет распада μ→eγμ→eγ\mu\rightarrow e\gamma и сокращения между диаграммами

СРС

изометрия

СРС

изометрия

изометрия

Кот Милтон

Ответы (4)

Вед

доктор

изометрия

СРС

Обжоров

доктор

Эффективные теории и операторы размерности шесть

Смешивание кварков и смешивание нейтрино, собственные состояния массы, слабые состояния и обнаружение

Синглетные нейтрино распадаются на бозоны Хиггса во время лептогенеза.

Количество свободных параметров в Стандартной модели с нейтринной осцилляцией

Что запрещает недиагональные элементы с точки зрения кинетики Стандартной модели?

Слабое взаимодействие полей (νc)R(νc)R(\nu^c)_R СМ и полей NRNRN_R в качающемся расширении СМ типа I

Как можно измерить вероятности осцилляций аромата антинейтрино?

Почему осцилляции нейтрино считаются «за пределами Стандартной модели»?

Предсказывает ли квантовая теория поля или Стандартная модель физики элементарных частиц максимальное количество частиц или полей, которые могут существовать?