Что запрещает недиагональные элементы с точки зрения кинетики Стандартной модели?

Самый общий лагранжиан, согласующийся с симметриями, действительно имеет недиагональный кинетический член, однако дело в том, что вы обычно можете переопределить поля так, чтобы кинетический член был тождеством. То, как это происходит, зависит от интересующих нас полей, т. е. от полей материи или калибровочных полей. Мы начнем с обсуждения фермионов со спином 1/2 (ситуация для скаляров аналогична), а затем обсудим более сложный случай калибровочных бозонов.

Фермионы

Рассмотрим калибровочную теорию с набором полей,$\psi _i$, с тем же зарядом при калибровочной симметрии. Давайте посмотрим, как это работает. Самый общий лагранжиан, который вы можете записать:

$$\begin{equation} {\cal L} = i \lambda _{ ij} \bar{\psi} _i \gamma ^\mu D _\mu \psi _j - m _{ ij} \bar{\psi} _i \psi _j \end{equation}$$ Условие реальности требует, чтобы $\lambda$и $m$обе матрицы являются эрмитовыми. Мы всегда можем выполнить переопределение поля, $\psi _i \rightarrow T _{ ij}\psi _j$. $$\begin{equation} {\cal L} \rightarrow ( T ^\dagger \lambda T ) _{ ij}\bar{\psi} _i \gamma ^\mu D _\mu \psi _j - ( T ^\dagger m T ) _{ ij} \bar{\psi} _i \psi _j \end{equation}$$ Для эрмитовой матрицы $\lambda$, всегда можно найти (неунитарное!) преобразование $T$такой, что $T ^\dagger \lambda T$является личностью. Это можно увидеть, разделив $T$до в унитарную матрицу, $U$, который диагонализует $\lambda$и матрица $R$который равен квадратному корню из обратного собственных значений $\lambda$:

$$\begin{equation} T ^\dagger \lambda T = R ^\dagger U ^\dagger \lambda U R = \sqrt{ \lambda _D ^{-1} } \lambda _{ D}\sqrt{ \lambda _D ^{-1} } = {\bf 1} \end{equation}$$ где $\lambda _D$определяется как диагональный $\lambda$. Следовательно, мы можем написать, $$\begin{equation} {\cal L} \rightarrow i \bar{\psi} _i \gamma ^\mu D _\mu \psi _i - ( T ^\dagger m T ) _{ ij} \bar{\psi} _i \psi _j \end{equation}$$ Поскольку матрица $T ^\dagger m T$является полностью общим, мы можем просто переименовать его $M$давая обычный стартовый лагранжиан, $$\begin{equation} {\cal L} = i \bar{\psi} _i \gamma ^\mu D _\mu \psi _i - M _{ ij} \bar{\psi} _i \psi _j \end{equation}$$

Из этого анализа можно подумать, что мы полностью установили основу$\psi$и, следовательно, больше не может переопределять поля. Однако, это не так. Кинетический член по-прежнему инвариантен относительно унитарного преобразования, и, следовательно, у нас все еще есть свобода вращать$\psi$на основе унитарной матрицы (что часто делается при обсуждении юкавских взаимодействий в СМ).

Поля датчика

Калибровочные поля сложнее, поскольку существуют симметрии, которые не позволяют записывать определенные термины (калибровочные и массовые матрицы часто не являются общими). Это приводит к тонким чертам.

Рассмотрим теорию с несколькими U(1):

$$\begin{equation} {\cal L} = - \frac{1}{4} \lambda _{ ij} F _{ \mu\nu } ^i F ^{ j\,\mu\nu } + i \bar{\psi} _f D _\mu \gamma ^\mu \psi _f + m _{ ij} ^2 A ^i A ^j \end{equation}$$ где ковариантная производная, $D ^\mu \psi ^f \equiv ( \partial ^\mu -i e _a ^f X _a ^\mu ) \psi ^f$, имеет сумму по связям с калибровочными полями. Обратите внимание, что если калибровочная симметрия не нарушена, ее массовые члены равны нулю. Реальность лагранжевых множеств $\lambda$быть реальным и симметричным. По аналогии со случаем фермионов его можно повернуть к единице ортогональным преобразованием ( $O$), за которым следует квадратный корень из обратного собственных значений $\lambda$, $T = O R$. Эта матрица теперь вращает различные муфты, $$\begin{equation} {\cal L} = - \frac{1}{4} F _{ \mu\nu } ^i F ^{ i\,\mu\nu } + i \bar{\psi} _f ( \partial ^\mu - i e _a ^f T _{ ab} X _b ^\mu ) \gamma ^\mu \psi _f + ( T ^T m ^2 T ) _{ ij } A ^i A ^j \end{equation}$$ Сейчас если $m ^2 _{ ij}$и $e _a ^f$если бы были самые общие термины, это был бы конец истории. Мы бы переопределили связь, как это было сделано выше, и двинулись дальше. Однако для калибровочного поля у нас часто бывает, что одна или несколько из этих симметрий не нарушены, и мы хотим записать это в базисе, который делает это очевидным. Отсюда не очевидно, что это даже возможно. Посмотрим, как это сработает.

Единственный поворот, который мы можем сделать, оставив кинетический член неизменным, — это ортогональный поворот,$A ^\mu _i \rightarrow O' _{ ij} A _j ^\mu$. Это дает массовый член,

$$\begin{equation} {\cal L} _m \rightarrow ( O ^{ \prime T} T ^T m ^2 T O ' ) _{ij} A ^i A ^j \end{equation}$$ Поскольку количество нулевых собственных значений не меняется при умножении на обратимые матрицы, диагонализация по-прежнему будет давать то же количество безмассовых векторов, с которого мы начали (и, следовательно, приведенная выше диагонализация не нарушала никаких дополнительных U(1), поскольку она не должен). Выполнение этого преобразования: $$\begin{equation} {\cal L} _m \rightarrow M _i ^2 A ^i A ^i \end{equation}$$ где $M _i$являются собственными значениями преобразованных векторов (и отличны от нуля только для нарушенных симметрий).

Теперь давайте рассмотрим ковариантный производный член:

$$\begin{equation} {\cal L} \supset e _a ^f T _{ ab} O _{ b c}'X _c ^\mu \bar{\psi} _f \gamma _\mu \psi _f \end{equation}$$ Из-за диагонализации массы мы уже полностью зафиксировали основу векторов и, следовательно, больше не можем вращать объекты. Фермионы неизбежно получают запутанную калибровочную связь, $$\begin{equation} g _c ^f \equiv e _a ^f T _{ ab} O _{ b c}' \end{equation}$$

Давайте теперь лучше познакомимся с этими матрицами на соответствующем примере. Рассмотрим случай U(1)$\times$U(1) где только$1$U(1) не работает ($m _{11} ^2 = m _X ^2 , m _{ 12} ^2 = m _{ 21} ^2 = m _{ 2 2} ^2 = 0$) и имеем небольшое перемешивание,$\lambda = \left( \begin{array}{cc} 1 & \epsilon \\ \epsilon & 1 \end{array} \right)$. Непрерывный (сломанный) U(1) аналогичен фотону (темному фотону). В этом случае легко вычислить соответствующие матрицы,

$$\begin{equation} T = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} ( 1 + \epsilon ) ^{ - 1/2} &0 \\ 0 & ( 1 - \epsilon ) ^{ - 1/2} \end{array} \right) \,,\quad O ' = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} \sqrt{ 1 - \epsilon } & \sqrt{ 1 + \epsilon } \\ - \sqrt{ 1 + \epsilon } & \sqrt{ 1 - \epsilon } \end{array} \right) \end{equation}$$ который дает, $$\begin{equation} T ^T \lambda T = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\,,\quad O^ { \prime T} T ^T m ^2 T O ' = \left( \begin{array}{cc} m _{ X} ^2 / ( 1 - \epsilon ^2 ) & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$$ Теперь, если мы рассмотрим фермион, изначально заряженный только при непрерывном U(1), мы увидим, что он получает связь с массивным векторным состоянием: $$\begin{equation} {\mathbf{g}} ^{ ( 1 )}= O ^{ \prime T} T ^T \left( \begin{array}{c} 0 \\ e \end{array} \right) \simeq e \left( \begin{array}{c} - \epsilon \\ 1 \end{array} \right) \end{equation}$$ в то время как частицы, изначально заряженные только под массивным U(1), не приобретают заряд до неразрывного U(1): $$\begin{equation} {\mathbf{g}} ^{ ( 2 )}= O ^{ \prime T} T ^T \left( \begin{array}{c} e ' \\ 0 \end{array} \right) \simeq e' \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) \end{equation}$$ Первый эффект практически аналогичен тому, что происходит, когда вы рассматриваете кинетически смешанный «темный фотон»: у вас есть связь фермионов Стандартной модели с темным фотоном, подавленная параметром смешивания, $\epsilon$. Более того, мы видим несколько неинтуитивный эффект, заключающийся в том, что частицы темного сектора не приобретают такого заряда под действием фотона.

Более подробный пример для реальной Стандартной модели усложняется тем, что векторное состояние СМ ($B$) является линейной комбинацией массивного ($Z$) и безмассовое состояние ($\gamma$). Это приводит к возможности того, что частицы темного сектора действительно приобретают заряд под действием электромагнетизма.

Тот, на который вы указываете, считается не кинетическим термином, а двухточечным взаимодействием между двумя семействами лептонов.

Чтобы понять физику, вам нужно диагонализовать кинетический термин, чтобы вы могли понять, каковы независимые компоненты полей.

Если вы знаете о механизме Хиггса, это аналогично тому факту, что вам нужно разделить два поля, перейдя к унитарной калибровке. [если вы не знаете о механизме Хиггса, игнорируйте эту строку]