Расхождения в рядах КХД. Сколько их и что они означают?

Я имею в виду этот вопрос и особенно этот ответ .

Кроме того, КХД, как и все теории поля, имеет только асимптотический ряд возмущений, а это означает, что и сам ряд будет расходиться, если просуммировать все члены.

Что это значит? Из того, что я знаю, если сумма по ряду расходится, это означает, что суммирование не работает, а это означает, что количество, которое вы пытаетесь вычислить, вы не можете получить ответ для этого, для любого количества, которое возвращается из ваше вычисление должно иметь конечную ценность.

Но в КХД и КЭД все кажется намного сложнее, поскольку допускаются некоторые расхождения :

Это не означает, что в теории возмущений КХД нет ультрафиолетовых расходимостей, они есть, как и в любой другой теории унитарного взаимодействующего поля в 4d. Однако эти ультрафиолетовые расходимости не являются признаком проблем с теорией, поскольку определение решетки работает нормально. Это контрастирует, скажем, с КЭД, где предел короткого шага решетки требует разрыва голой связи, и вполне вероятно, что теория разрывается до бесконечной связи на некотором небольшом, но конечном расстоянии. Это, безусловно, то, что происходит в простейшей теории взаимодействующего поля, четвертично самодействующем скаляре

Мои вопросы:

  1. Сколько видов расходимости существует в КХД и КЭД?
  2. И как мы узнаем, какое расхождение допустимо (в том смысле, что мы все еще можем извлечь значения для предсказания после некоторого процесса перенормировки)?
  3. Если суммы расходятся, то мы не сможем вычислить сумму ряда. Разве это не противоречит цели сериала? Для любого ряда, если сумма расходится после суммирования всех членов, то мы знаем, что формула должна быть неправильной, или ряд не имеет физического смысла. Но почему для серий КХД формула все же верна (поскольку она используется для извлечения констант связи) и имеет физический смысл (ряды КХД должны чему-то соответствовать в реальности)?
  4. Тот факт, что КХД имеет несходящиеся ряды, означает, что она не может быть фундаментальной теорией природы, верно?
Привет, Гравитон, мне кажется довольно странным, что все ваши недавние вопросы заканчиваются словами «некоторая теория не может быть фундаментальной теорией природы, верно?». Это создает впечатление, что вы не хотите, чтобы «какая-то теория» была фундаментальной теорией природы, и придает вопросам негативный оттенок самоуверенности…
@Дилатон, что странного в том, что я спрашиваю? И, кроме того, даже если это было бы странно, вопрос о том, исключает ли X наличие расходящихся рядов как фундаментальную теорию природы, важен и интересен, не так ли?
Да, вопросы по физике сами по себе интересны, и мне нравятся очень приятные ответы, которые приходят...
Относительно вопроса 4: это проблема только в том случае, если теория определяется своим рядом возмущений. КХД не определяется своим рядом возмущений. Неспособность ряда возмущений сойтись просто означает, что это не очень хорошее приближение.
О пункте 3: Эта книга и (гораздо проще для понимания и очень увлекательные) эта серия лекций объясняет, почему и как такие расходящиеся серии все еще работают. Основная идея состоит в том, что у вашей проблемы есть решение, но пертурбативное разложение — плохое представление для нее. Если вы измените представление, вы можете извлечь информацию о решении.

Ответы (1)

Позвольте мне начать с КЭД. Впоследствии я свяжусь с QCD. В КЭД есть 4 вида расходимости:

  1. Ультрафиолетовые расходимости. Наивные расчеты зависят от отсечки таким образом, что они уходят в бесконечность, как и отсечка. Однако КЭД — пертурбативно перенормируемая теория, так что ненаивные, хорошо выполненные вычисления (см. Регуляризация и перенормировка ) дают разумные результаты.

  2. Полюс Ландау . Константа связи α знак равно е 2 ℏ с , который является параметром разложения в ряду теории возмущений, растет с энергией и стремится к бесконечности при конечном значении энергии. Оказывается, это конечное значение энергии больше электрослабого масштаба, где КЭД сливается со слабым взаимодействием, и КЭД уже не является хорошей теорией природы. Следовательно, это не настоящая (феноменологическая) проблема.

  3. Инфракрасные расходимости . Это связано с тем, что фотоны не имеют массы. Однако они компенсируются, если принять во внимание все эффекты, которые вносят вклад в измеримую наблюдаемую.

  4. Несходящийся ряд. н -й член пертурбативного разложения имеет вид ( α 2 π ) н ( 2 н − 1 ) ! ! , так что ряд не сходится, а асимптотичен , так как множитель ( 2 н − 1 ) ! ! растет очень быстро при больших значениях н . Это означает, что мы не можем дать непертурбативное определение КТП, суммируя все члены ряда. Однако первые члены имеют смысл и фактически дают предсказания, точно согласующиеся с наблюдениями. «Первые члены» примерно н ∼ π α ∼ 430 . И для этого значения н , ( α 2 π ) н ( 2 н − 1 ) ! ! ∼ 10 − 187 . Поэтому, пока нас не интересует точность в одну часть в 10 187 , это тоже не проблема. Обратите внимание, что КЭД — это теория природы, которая была подтверждена с величайшей точностью — одна часть в 10 9 в аномальном магнитном диполе электрона, для которого н знак равно 4 .

Для КХД точки 1, 3 и 4 более или менее совпадают. Однако пункт 2 неприменим, так как в КХД константа связи α с становится ниже с увеличением энергии, и фактически стремится к нулю, когда энергия стремится к бесконечности. См. асимптотическую свободу .

Подводя итог, можно сказать, что инфракрасные расходимости возникают из-за того, что не учитываются эффекты, влияющие на наблюдаемую величину. Асимптотическая природа пертурбативных разложений КТП предотвращает непертурвативное (точное) определение теории (через ее ряды), но не влечет за собой практической проблемы при сравнении предсказаний с измерениями. Отсутствие пертурбативных расходимостей и полюсов типа Ландау является необходимым условием корректности теории при сколь угодно высоких энергиях. Однако теории, содержащие эти расходимости (ультрафиолетовые или полюса типа Ландау), все же могут быть очень полезны при энергиях выше некоторого масштаба. С другой стороны, теории без этих расхождений (ультрафиолетовые или подобные Ландау полюса), такие как КХД, не обязательно должны быть применимы ко всем энергиям как теории природы.

Как указывает М. Браун в комментариях, существует связь между инстантонами и ренормалонами и асимптотическим характером рядов. Пожалуйста, ознакомьтесь с этими примечаниями и вопросами Инстантоны и непертурбативные амплитуды в гравитации и асимптотика пертубативного расширения КТП.

Ответ на комментарий Гравитона: На мой взгляд, фундаментальная теория природы (что бы это ни значило) должно иметь непертурбативное определение. Если пертурбативное расширение не сходится, оно не может дать этого непертурбативного определения. Однако в принципе это не обязательно означает, что теория не может иметь непертурбативного определения или точного решения, но это должно быть дано другими способами.

+1 хороший ответ. Относительно пункта 4: здесь можно много чего сказать об инстантонах и ренормалонах (кто-то более знающий, чем я!). Мое очень смутное понимание состоит в том, что существуют некоторые глубокие связи между (экспоненциально малой) неоднозначностью асимптотического ряда и (также экспоненциально малыми) инстантонными вкладами, но как все это работает и насколько это общее, для меня все еще неясно.
Если я правильно понимаю, тот факт, что КХД имеет несходящиеся ряды, означает, что она не может быть фундаментальной теорией природы, верно?
@Graviton: На мой взгляд, фундаментальная теория природы (что бы это ни значило) должна иметь непертурбативное определение. Если пертурбативное расширение не сходится, оно не может дать этого непертурбативного определения. Однако в принципе это не обязательно означает, что теория не может иметь непертурбативного определения или точного решения, но это должно быть дано другими способами.
@MichaelBrown Спасибо, что указали на это. Я добавил несколько ссылок в свой ответ.
@drake: это хороший ответ, но его можно улучшить, обсудив ренормалоны.
@drake Спасибо! При поиске ссылок был найден этот соответствующий набор заметок (pdf) .
Не является ли КХД лагранжианом?
л знак равно ψ ¯ а я Д мю γ мю ψ а + м а ψ ¯ а ψ а
непертурбативное утверждение теории? Ряд возмущений появляется только тогда, когда расширяется опыт ⁡ { я ∫ д 4 Икс л я н т } при расчете сечений - КХД на решетке - это непертурбативная обработка, например
@Neuneck: Возможно, было бы лучше сказать, что «КХД - это континуальный предел решеточной КХД» - это непертурбативное определение. Простое написание лагранжиана скрывает дополнительный выбор, который вы должны сделать при определении интеграла по путям в решетке.
@drake, спасибо за ваш комментарий. Хотели бы вы интегрировать в свой ответ объяснение природы расширения возмущения в отношении фундаментальной теории природы? Поскольку это также является частью моего вопроса сейчас
@Виберт Спасибо! Прямо сейчас я не смог бы написать четкий обзор ренормалонов. Было бы неплохо, если бы вы это написали (возможно, в качестве продолжения моего ответа).
@Neuneck QCD - это теория Минковского (континуальная и лоренцевская, а не евклидова)
Чтобы расширить ответ Дрейка на вопрос Гравитона с противоположной точки зрения: асимптотический ряд вполне может быть пертурбативным расширением непертрубативно определенной фундаментальной теории природы. Наличие асимптотического ряда возмущений еще не означает наличия «фундаментальной теории», но может быть шагом в этом направлении.
@UrsSchreiber Хороший вопрос! ф 4 в двух измерениях это пример, верно?
Расхождения в рядах КХД. Сколько их и что они означают?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v