Разделение Борна-Оппенгеймера в скобках Дирака

Большинство выводов приближения Борна-Оппенгеймера, которые я видел, основаны на волновых функциях. Чтобы лучше понять это, я пытался написать вывод, используя нотацию Дирака, но я застрял. Я собираюсь опубликовать то, что я сделал до сих пор, чтобы вы, ребята, могли мне помочь.

Гамильтониан молекулы можно записать в виде суммы двух частей:$H_\text{mol} = H_\text{el} + H_\text{nuc}$, где$H_\text{nuc}$является гамильтонианом ядер самих по себе, и$H_\text{el}$– гамильтониан электронов, взаимодействующих с ядрами:

Мы хотим найти энергетические уровни молекулы. То есть мы хотим решить$H_{\text{mol}} |\mathcal{E}\rangle =\mathcal{E} |\mathcal{E}\rangle$, где$\mathcal{E}$и$|\mathcal{E}\rangle$являются собственной энергией и соответствующим собственным набором молекулы.

Пространство состояний молекулы можно разделить на электронную и ядерную части:$\mathcal{S}_\text{mol} = \mathcal{S}_\text{el} \otimes \mathcal{S}_\text{nuc}$. Позволять$|R\rangle \in \mathcal{S}_\text{nuc}$– позиционный базис ядер, где$R$обозначает координаты всех ядер.

Определять$H_{\text{el}}(R) = \langle R| H_{\text{el}} |R\rangle$, который является оператором в$\mathcal{S}_{\text{el}}$. Позволять$E_a(R)$и$|E_a(R)\rangle$— собственные значения и соответствующие собственные наборы$H_{\text{el}}(R)$в$\mathcal{S}_{\text{el}}$, так что$H_{\text{el}}(R) |E_a(R)\rangle = E_a(R) |E_a(R)\rangle$. Для каждого$R$, кеты$|E_a(R)\rangle$сделать основу для$\mathcal{S}_{\text{el}}$.

Набор кетов$|E_a(R)\rangle |R\rangle \in \mathcal{S}_{\text{mol}}$для всех$R$и$a$затем сделать основу для$\mathcal{S}_{\text{mol}}$. Используя этот базис, можно записать состояние молекулы:

где$\chi_a(R)$является амплитудной функцией.

Обратите внимание, что:

Таким образом, молекулярная собственная проблема$H_{\text{mol}} |\psi \rangle =\mathcal{E} |\psi \rangle$можно написать:

Умножение на$\langle E_a(R)|$слева:

Наконец, мы определяем кет$|\chi_a\rangle \in \mathcal{S}_\text{nuc}$такой, что$\chi_a(R) = \langle R | \chi_a \rangle$:

Тогда мы можем написать:

ЗДЕСЬ ЗАКАНЧИВАЕТСЯ МОЯ ВЫВОД.

Должно быть, я где-то сделал что-то не так, потому что окончательное уравнение, которое я получаю, является, насколько я могу судить, приближением Борна-Оппенгеймера , но здесь я получаю его как точное уравнение. Что я сделал не так?

Кроме того, если кто-нибудь знает какой-либо справочник, учебник или документ, посвященный приближению Борна-Оппенгеймера в обозначениях Дирака, пожалуйста, опубликуйте его.