Форм-фактор в резерфордовском рассеянии

Моя дискуссия по существу следует за этой статьей.

Форм-факторы — это интуитивно понятный и простой инструмент, используемый для описания рассеяния частиц от протяженных целей. Здесь я собираюсь показать, как возникает Форм-фактор в контексте рассеяния бесспиновых электронов.

Как и во многих экспериментах по рассеянию, нас интересует дифференциальное сечение$\frac{d\sigma}{d\Omega}$наших рассеянных электронов от нашей цели. Дифференциальное сечение связано с амплитудами рассеяния соотношением:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{k}{k_i}|f(\theta,\phi)|^2$$ где $\theta$угол рассеяния.

Амплитуды рассеяния$f(\theta,\phi)$можно получить в приближенном виде, используя приближение Борна. В первом порядке (и с точностью до нормализации) приближение Борна можно записать в виде:

$$f_{B1}=\int\phi_{k_f}^*(\vec{r})V(\vec{r})\phi_{k_i}(\vec{r})d^3\vec{r}$$

В первом борновском приближении исходная входящая волна и исходящие волны предполагаются плоскими волнами вида:

$$\begin{align} \phi_{k_i}(\vec{r})=e^{ik_i\cdot r}\\ \phi_{k_f}(\vec{r})=e^{ik_f\cdot r} \end{align}$$

Мы можем описать расширенное распределение заряда как$Ze\rho(\vec{r})$с

$$\int\rho(\vec{r})d^3\vec{r}=1$$

В этом случае потенциал, испытываемый электроном, находящимся на$\vec{r}$определяется потенциалом Колумба:

$$V(\vec{r})=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{|r-r'|}d^3\vec{r}'$$

И подставляя этот потенциал в общее выражение для первого борновского приближения к амплитудам рассеяния$f(\theta,\phi)$дает

$$f_{B1}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int e^{\frac{iq\cdot r}{h}}\int\frac{\rho(\vec{r}')}{|r-r'|}d^3\vec{r}d^3\vec{r}'$$

Замена$\vec{R}=\vec{r}-\vec{r}'$и заметив, что$d^3\vec{R}=d^3\vec{r}$

$$f_{B1}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\int \frac{e^{\frac{iq\cdot \vec{R}}{h}}}{\vec{R}}d^3\vec{R} \left[\int e^{\frac{iq\cdot \vec{r}'}{h}}\rho(\vec{r}')d^3\vec{r}'\right]$$

Этот фактор скобок известен как форм-фактор ,$F(q)$.

$$F(q)=\int e^{\frac{iq\cdot \vec{r}'}{h}}\rho(\vec{r}')d^3\vec{r}'$$

Можно показать, что когда выражение для$f_{B1}$используется для определения$\frac{d\sigma}{d\Omega}$, что:

$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\left(\frac{Ze}{4E}\right)^2\frac{1}{sin^4(\theta/2)}|F(q)|^2$$

Это выражение можно интуитивно интерпретировать как рассеяние Резерфорда, модулированное квадратом форм-фактора. Другими словами, рассеяние электрона на протяженном источнике равно рассеянию на точечном источнике, модулированном форм-фактором .