Разделимы ли энергия и импульс для электромагнитных волн?

Плотность энергии в электромагнитном поле определяется выражением

$$u = \frac{1}{2}\left( \epsilon E^2 + \frac{B^2}{\mu} \right)$$

Импульс, переносимый электромагнитными полями, определяется вектором Пойнтинга, который представляет собой мощность на единицу площади.

$$\vec{N} = \frac{1}{\mu} ( \vec{E} \times \vec{B} )$$

Импульс на единицу площади в единицу времени равен вектору Пойнтинга, деленному на скорость света.

Теорема Пойнтинга говорит нам, что расходимость$\vec{N}$равна работе, совершаемой ЭМ полями (на зарядах), плюс скорость изменения плотности энергии.

Теперь, что вы подразумеваете под "нести энергию". Если вы имеете в виду переместить его из одного места в другое, то для этого требуется ненулевой вектор Пойнтинга с ненулевой дивергенцией, и это будет иметь ненулевой поток импульса.

Однако, если вы имеете в виду, могут ли электромагнитные поля накапливать энергию без потока импульса, то ответ — да. Просто сделайте чистый вектор Пойнтинга равным нулю, но с ненулевыми E- и/или B-полями.

Это возможно даже для электромагнитных волн, если вы формируете стоячую волну. Усредненный по времени вектор Пойнтинга был бы нулевым, но была бы ненулевая плотность энергии.

например

$$\vec{E} = E_0 \cos(kz)\cos(\omega t)\ \vec{x}$$ $$\vec{B} = \frac{E_0}{c} \sin(kz) \sin(\omega t)\ \vec{y}$$ представляет собой стоячую волну, образованную двумя плоскими волнами одинаковой амплитуды, распространяющимися в противоположных направлениях вдоль оси z.

Чистая плотность энергии (допустим, вакуум, поэтому$\epsilon = \epsilon_0$,$\mu=\mu_0$и$c^2 = (\mu_0 \epsilon_0)^{-1}$) дан кем-то

$$u = \frac{1}{2}\epsilon_0 E_0^{2} (\cos^2(kz)\cos^2(\omega t) + \sin^2(kz) \sin^2(\omega t))$$

Взяв среднее время и отметив, что$\cos^2(kz)+\sin^2(kz)=1$, мы получаем

$$\bar{u} = \frac{\epsilon_0 E_0{^2}}{4},$$ который не равен нулю и не зависит от $z$.

С другой стороны, вектор Пойнтинга равен

$$\vec{N} = \frac{1}{\mu_0}\cos(kz)\sin(kz)\cos(\omega t)\sin(\omega t)\ \vec{z}$$ $$\vec{N} = \frac{E_0^{2}}{4\mu_0 c}\sin(2kz) \sin(2 \omega t)\ \vec{z}$$

Но среднее значение этого времени равно нулю.