Различные представления алгебры Лоренца

ОБНОВЛЕНИЕ. Ответ отредактирован, чтобы соответствовать последней версии вопроса.

Различные определения , которые вы упомянули, НЕ являются определениями. На самом деле то, что вы описываете, - это разные представления алгебры Лоренца. Теория представлений играет очень важную роль в физике.

Что касается алгебры Ли, то образующие$L_{\mu\nu}$являются просто некоторыми операторами с некоторыми определенными коммутационными свойствами.

Выбор$L_{\mu\nu} = J_{\mu\nu}, S_{\mu\nu}$а также$M_{\mu\nu}$являются различными реализациями или представлениями одной и той же алгебры. Вот я определяю

$$\begin{align} \left( J_{\mu\nu} \right)_{ab} &= - i \left( \eta_{\mu a} \eta_{\nu b} - \eta_{\mu b} \eta_{\nu a} \right) \\ \left( S_{\mu\nu}\right)_{ab} &= \frac{i}{4} [ \gamma_\mu , \gamma_\nu ]_{ab} \\ M_{\mu\nu} &= i \left( x_\mu \partial_\nu + x_\nu \partial_\mu \right) \end{align}$$ Другое возможное представление — тривиальное, где $L_{\mu\nu}=0$.

Почему важно иметь эти разные представления?

В физике есть несколько разных полей (обозначающих частицы). Мы знаем, что эти поля должны каким-то образом преобразовываться под действием группы Лоренца (среди прочего). Тогда возникает вопрос: как поля преобразуются под действием группы Лоренца ? Ответ прост. Мы выбираем различные представления алгебры Лоренца, а затем определяем поля для преобразования в соответствии с этим представлением! Например

1. Объекты, преобразующиеся при тривиальном представлении, называются скалярами.
2. Объекты, трансформирующиеся под$S_{\mu\nu}$называются спинорами.
3. Объекты, трансформирующиеся под$J_{\mu\nu}$называются векторами.

Можно придумать и другие представления, но эти наиболее распространены.

Как насчет$M_{\mu\nu}$ты спрашиваешь? Объекты, которые я описал выше, на самом деле являются тем, как трансформируются НЕ-поля (из-за отсутствия лучшего термина. Я просто имею в виду объекты, не зависящие от пространства-времени). С другой стороны, в физике нас волнуют ПОЛЯ. Чтобы описать этих парней, нужно определить не только трансформацию их составляющих, но и пространственно-временные зависимости. Это делается путем включения$M_{\mu\nu}$представление ко всем определениям, описанным выше. Тогда у нас есть

1. Поля, преобразующиеся при тривиальном представлении$L_{\mu\nu}= 0 + M_{\mu\nu}$называются скалярными полями.
2. Поля, трансформирующиеся под$S_{\mu\nu} + M_{\mu\nu}$называются спинорными полями.
3. Поля, трансформирующиеся под$J_{\mu\nu} + M_{\mu\nu}$называются векторными полями.

Математически ничто не делает эти представления более фундаментальными, чем другие. Однако большинство частиц в природе можно сгруппировать в скаляры (Хиггс, пион), спиноры (кварки, лептоны) и векторы (фотон, W-бозон, Z-бозон). Таким образом, приведенные выше представления часто являются всем, о чем говорят.

Насколько мне известно, алгебры Клиффорда используются только при построении спинорных представлений алгебры Лоренца. Возможно, в какой-то другой части физики есть какой-то неясный контекст, где это всплывает, но я этого не видел. Конечно, я не специалист во всей физике, так что не верьте мне на слово. У других может быть другая точка зрения на этот счет.

---

Наконец, просто чтобы пояснить, как преобразуются поля (по запросу), я упоминаю об этом здесь. Общее поле$\Phi_a(x)$преобразуется при преобразовании Лоренца как

$$\Phi_a(x) \to \sum_b \left[ \exp \left( \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} L_{\mu\nu} \right) \right]_{ab} \Phi_b(x)$$ куда $L_{\mu\nu}$представляет собой представление, соответствующее типу поля $\Phi_a(x)$а также $\omega^{\mu\nu}$— параметр преобразования Лоренца. Например, если $\Phi_a(x)$является спинором, то $$\Phi_a(x) \to \sum_b \left[ \exp \left( \frac{i}{2} \omega^{\mu\nu} \left( S_{\mu\nu} + M_{\mu\nu} \right) \right) \right]_{ab} \Phi_b(x)$$