Непротиворечивость преобразования скалярных полей с математическим определением представления алгебры Ли и группы Ли

Преобразования скалярных полей при преобразовании группы Лоренца порождаются дифференциальными операторами л мю ν "=" Икс мю ∂ ν − Икс ν ∂ мю .

С другой стороны, представление группы Ли г и алгебра определяется как гомоморфизм π : г е г → π ( г ) е г л ( н , С ) и ψ : Икс е г → ψ ( Икс ) е г л ( н , С ) , где г л ( н , С ) обозначает группу общих линейных матриц н × н сложные обратимые матрицы и г л ( н , С ) является его алгеброй Ли и г является рассматриваемой группой с г являющийся ее алгеброй Ли.

Итак, каким образом образующие алгебры Ли могут быть представлены дифференциальными операторами, если представления алгебр Ли имеют приведенное выше определение (т. е. отображения в алгебру Ли, соответствующую группе н × н обратимые матрицы)?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Первая часть была вдохновлена ​​​​следующим (из книги Фридмана и Ван Пройена «Супергравитация», стр. 14):
введите описание изображения здесь

«Преобразования скалярных полей при общих преобразованиях координат порождаются дифференциальными операторами л мю ν "=" Икс мю ∂ ν − Икс ν ∂ мю ." - что вы этим хотите сказать? Где вы это слышали? (Утверждение неверно: Группа диффеоморфизмов ( ≅ «общее преобразование координат») вообще бесконечномерна, но алгебра л мю ν явно конечномерна)
@ACuriousMind Спасибо за комментарий. Это была ошибка. Я отредактировал вопрос сейчас.
Хорошо. Итак, в чем именно заключается ваш вопрос? Дифференциальные операторы л мю ν являются линейными операторами над векторным пространством скалярных полей. Таким образом, они составляют (бесконечномерное) представление группы Лоренца. Ваша проблема в том, что н здесь не конечно?
@ACuriousMind Да, я так думаю. Представление должно быть элементом общей линейной группы, поэтому я не могу точно понять, как дифференциальный оператор соответствует этому описанию, хотя теперь я подозреваю, что ответ может быть тривиальным.
Если вы посмотрите, например, на определение группового представления в Википедии, там нет требования, чтобы векторное пространство было конечномерным.

Ответы (1)

Это не определение представления группы Ли — это определение конечномерного представления группы Ли.

В более общем смысле представление в векторном пространстве В является групповым гомоморфизмом π : г е г ↦ π ( г ) е Авт ⁡ ( В ) , где Авт ⁡ ( В ) есть множество автоморфизмов на В . Если В конечномерна, то Авт ⁡ ( В ) ≃ г л ( н , р ) или г л ( н , С ) , но В не обязательно должен быть конечномерным, как в данном случае.

Непротиворечивость преобразования скалярных полей с математическим определением представления алгебры Ли и группы Ли
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v