Различные выражения цилиндрических электромагнитных волн, полученные из одномерного или трехмерного волнового уравнения?

Question

Различные выражения цилиндрических электромагнитных волн, полученные из одномерного или трехмерного волнового уравнения?

Сёрен

Рассмотрим электромагнитные цилиндрические волны. Цилиндрические волны могут быть получены из плоских волн с использованием соображений сохранения энергии: поскольку мощность должна быть постоянной, амплитуда цилиндрической волны должна уменьшаться с увеличением $\sqrt{r}$ . Следовательно, цилиндрическое волновое выражение должно быть

Е (р, т) "=" \frac{Е_{0}}{\sqrt{р}} с я н (к р - ю т)

$\mathbf{E}(r,t)=\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} \mathrm{sin}(kr-\omega t)$

Функция $\sqrt{r} \mathbf{E}(r,t)$ удовлетворяет одномерному волновому уравнению

\frac{\partial^{2} ξ}{\partial р^{2}} - \frac{1}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial т^{2}} "=" 0

$\frac{\partial^2\xi}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=0$

В сложных обозначениях цилиндрическая волна становится

\begin{matrix} (1) & Е (р, т) "=" \frac{Е_{0}}{\sqrt{р}} е^{Дж (к р - ю т)} \end{matrix}

$\mathbf{E}(r,t)=\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} e^{j(kr-\omega t)}\tag{1}$

Если мы позвоним $\xi$ общий компонент $\mathbf{E}$ , трехмерное волновое уравнение имеет вид

\nabla^{2} ξ - \frac{1}{с^{2}} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial т^{2}} "=" ◻ ξ "=" 0

$\nabla^2\xi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\square \xi=0$

Решение в цилиндрических координатах

\begin{matrix} (2) & ξ (р, ф, г, т) "=" \sum_{ю, н, час} р_{ю, н, час}^{0} {ЧАС}_{н} (р \sqrt{\frac{ю^{2}}{с^{2}} - {час}^{2}}) е^{Дж (н ф + час г - ю т)} \end{matrix}

$\xi (r,\phi , z,t) =\sum_{\omega,n,h} R^{0}_{\omega, n, h } H_n\Bigg(r \sqrt{\frac{\omega^2}{c^2}-h^2}\Bigg) e^{j(n\phi +hz-\omega t)} \tag{2}$

Где $R^{0}_{\omega, n, h }$ является (комплексной) константой и $H_n$ является функцией Ганкеля порядка $n$ .

В предположении цилиндрической симметрии волны, т.е.

\frac{\partial ξ}{\partial ф} "=" 0 а н д \frac{\partial ξ}{\partial г} "=" 0

$\frac{\partial \xi}{\partial \phi}=0 \,\,\,\,\,\, \mathrm{and} \,\,\,\,\,\, \frac{\partial \xi}{\partial z}=0$ асимптотическое приближение _

(2)

$(2)$ (для

r >> \frac{c}{ω}

$r >> \frac{c}{\omega}$ ) приводят к полю, совпадающему с

(1)

$(1)$ .

Мой вопрос: почему (при цилиндрической симметрии) $(2)$ равно $(1)$ только на большие расстояния?

Я всегда думал, что $(1)$ дает выражение цилиндрической волны во всех обстоятельствах. Так и есть $(1)$ "неправильно" для малого $r$ ? Или $(1)$ и $(2)$ описание двух разных вещей? Если да, то каковы различия?

(У меня такое же сомнение относительно сферических волн).

Эмилио Писанти

Обратите внимание, что вы смешиваете соглашения в этом вопросе: если вы используете

j

$j$ для

\sqrt{- 1}

$\sqrt{-1}$ , то вы должны написать

e^{j (ω t - k x)}

$e^{j(\omega t-kx)}$ как это делают инженеры; если вы должны иметь положительный знак на

k x

$kx$ , использовать

i

$i$ вместо. Это соглашения между инженером и физиком, и вы нарушаете их на свой страх и риск (это может и причинит вам боль в будущем), и вы не должны нарушать их в месте, которое ставит других в положение, требующее использования ваших обозначений. .

Ответы (3)

Различные выражения цилиндрических электромагнитных волн, полученные из одномерного или трехмерного волнового уравнения?

Обратите внимание, что вы смешиваете соглашения в этом вопросе: если вы используете $j$ для $\sqrt{-1}$ , то вы должны написать $e^{j(\omega t-kx)}$ как это делают инженеры; если вы должны иметь положительный знак на $kx$ , использовать $i$ вместо. Это соглашения между инженером и физиком, и вы нарушаете их на свой страх и риск (это может и причинит вам боль в будущем), и вы не должны нарушать их в месте, которое ставит других в положение, требующее использования ваших обозначений. .

Руслан · Answer 1

Одного только сохранения энергии недостаточно, чтобы получить точное решение цилиндрического волнового уравнения. Вы получаете правильное асимптотическое решение,

Е (р, т) \sim \frac{Е_{0}}{\sqrt{р}} с я н (к р - ю т) как р \to \infty,

$\mathbf{E}(r,t)\sim\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} \mathrm{sin}(kr-\omega t)\;\text{ as }\;r\to\infty,$

но это только то - асимптотическое как $r\to\infty$ , и недействителен для $r\to0$ .

Чтобы увидеть, что происходит, рассмотрим кривизну фронта волны вдали от источника и вблизи него. Вы увидите, что вдали от начала координат волновой фронт действительно близок к плоскому, поэтому вы можете аппроксимировать волновую функцию (затухающей) синусоидой. Но вблизи начала координат волновой фронт сильно искривлен, и его кривизна становится бесконечной в начале координат. Ясно, что там что-то должно измениться.

Важно понимать, что какие бы координаты вы ни выбрали для решения волнового уравнения, любое его решение все равно остается решением — при условии, что вас интересует только область, в которой решение несингулярно. Так, например, функция

ф (Икс, у, г, т) "=" {Дж}_{0} (к \sqrt{{Икс}^{2} + у^{2}}) е^{я ю т}

$f(x,y,z,t)=J_0\left(k\sqrt{x^2+y^2}\right)e^{i\omega t}$

по-прежнему решает трехмерное волновое уравнение, как и функция

г (Икс, у, г, т) "=" грех (к Икс) е^{я ю т}

$g(x,y,z,t)=\sin(kx)e^{i\omega t}$

и многие другие.

Что отличает решения, представленные в терминах функций Бесселя/Неймана/Ганкеля, так это их особое поведение при вращении вокруг начала координат: такие решения являются собственными функциями оператора вращения.

Как вы конвертируете свой $\cos$ -решение функции Бесселя? Поскольку мы хотим, чтобы решение было собственной функцией оператора вращения (для простоты мы рассмотрим один инвариант относительно вращения), одним из способов является интегрирование по всем направлениям . Вот пример для $0\text{th}$ порядковая функция Бесселя:

{Дж}_{0} (р) "=" \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} потому что (р потому что ф) д ф .

$J_0(r)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} \cos(r\cos\varphi)\,\mathrm d\varphi.$

Здесь интерференция всех повернутых косинусов автоматически дает вам оба: затухание с $r\to\infty$ для сохранения энергии и изменения длины волны для $r\to0$ для учета «слипания» волн вблизи источника.

Если я могу спросить, я не понимаю, почему энергетические соображения дают выражение для $\mathbf{E}(r,t)$ это неверно вблизи оси: что вы подразумеваете под «кривизной» волнового фронта математически? Очень разумно, что вблизи источника (например, бесконечно длинного провода) фронт волны не может быть описан этой простой функцией, но только с учетом энергии можно получить это выражение.
@Sørën, ты знаешь, что такое кривизна ? Я имею в виду именно это. Просто обратите внимание на разницу между направлениями распространения в близлежащих точках: вдали от начала координат они в основном параллельны, поэтому ваша волна достаточно близка к плоской волне, а вблизи начала координат направления довольно сильно меняются при движении от точки к точке.

флиппифанус · Answer 2

Цилиндрические координаты действительно имеют смысл только в двух или более измерениях, где $(x,y)\rightarrow (r,\phi)$ будет представлять собой преобразование декартовых координат в цилиндрические. Когда у вас есть только одно измерение, преобразование $x\rightarrow r$ является несколько тривиальным в том смысле, что на самом деле ничего не происходит. Таким образом, вы получаете нечто, похожее на картезианский случай. Вот почему решение в (1) больше похоже на решение плоской волны, которое вы получили бы для декартова случая в двух или более измерениях.

Кстати, в двух (или более) измерениях решение в цилиндрических координатах содержит функции Бесселя, а не функции Ганкеля, потому что можно было бы предположить, что решение конечно в начале координат.

Бегущая волна в любом случае является функцией Ганкеля. Оно не может быть конечным в начале координат вообще.
@Руслан: что ты имеешь в виду под "бегущей волной"? Решение в трех измерениях для области, содержащей начало координат, должно быть конечным в начале координат, чтобы быть физическим. Такое решение содержит только функцию Бесселя. Примером этого являются моды в оптическом волокне.
Например, бегущая волна может исходить (или поглощаться) от цилиндрической поверхности конечного радиуса. Вне цилиндра решение будет представлено функциями Ганкеля и будет конечным. Внутри цилиндра решение будет зависеть от того, какая там среда и как она взаимодействует со средой снаружи. Все зависит от граничных условий (и их размещения!), вы не можете просто отбросить второе решение дифференциального уравнения, потому что оно где-то расходится .

ДЖЭБ · Answer 3

Также: рассмотрим понятия ближнего и дальнего поля. Точное решение содержит оба. В дальнем поле существуют только бегущие волны ( $1/r^2$ степень для сферических случаев), которые асимптотически приближаются к плоским волнам. Ближнее поле падает быстрее (отсюда: «ближний»), кроме того, могут быть разности фаз с возбуждающими колебаниями - например, мощность может идти в поле и обратно к антенне. Я считаю, что чип кредитной карты — это устройство ближнего поля, и, следовательно, он более безопасен, чем RFID, который излучает вашу информацию.

Различные выражения цилиндрических электромагнитных волн, полученные из одномерного или трехмерного волнового уравнения?

Сёрен

Эмилио Писанти

Ответы (3)

Руслан

Сёрен

Руслан

флиппифанус

Руслан

флиппифанус

Руслан

ДЖЭБ

Нельзя ли разложить ЭМ плоскую волну на сферические волны? (Несоответствие нормализации)

Разница между плоской волной и коллимацией?

Может ли измениться характер ЭМ волны после взаимодействия с каким-либо аппаратом?

Использование сложной экспоненты для представления волн в EM [дубликат]

Распространение механических волн в вакууме

Как нарисовать все векторы электрического поля, связанные с электромагнитной волной?

Почему электромагнитные волны распространяются вперед во времени, а не назад?

Имеет ли отраженная волна произвольный фазовый сдвиг?

ω2c2−k2z−−−−−−√ω2c2−kz2\sqrt{\frac{\omega ^2}{c^2}-k_z^2} в цилиндрических гармониках

Связь между волновым числом и постоянной распространения