Нельзя ли разложить ЭМ плоскую волну на сферические волны? (Несоответствие нормализации)

У меня проблема с расширением, которое должно быть простым. Допустим, я решаю уравнения Максвелла в вакууме, но в сферических координатах. Решения семейства ТМ можно легко найти

Е л м Т М ( к ; р ) ∝ л Дж л + 1 ( к р ) В л м ( θ , ф ) − л + 1 Дж л − 1 ( к р ) Вт л м ( θ , ф ) ,
где л "=" 1 , 2 , 3 , . . . , м "=" − л , . . . , л , к "=" ю / с - волновой вектор, Дж л ( г ) – сферическая функция Бесселя порядка л , а угловая зависимость задается комбинациями векторных сферических гармоник (не важно для этого поста). Аналогичное решение можно найти для мод TE.

Теперь предположим, что у меня есть плоская волна Е "=" Е 0 е я к ⋅ р что я хочу расширить с точки зрения вышеупомянутых собственных мод в сферических координатах. Более конкретно, если электрическая энергия такой плоской волны равна U "=" ∫ г В ϵ 0 | Е | 2 / 2 "=" ϵ 0 | Е 0 | 2 В / 2 , интересно, сколько такой энергии приходится на сферическую собственную моду Т М к л м . Предполагая, что плоская волна разлагается как

Е "=" ∑ л м ∑ о с л м Е л м о ( к ; р ) ,
с о "=" Т М , Т Е , мы можем легко найти, что доля энергии, идущей на Т М к л м режим
Ф "=" 1 | Е 0 | 2 В ( ∫ г В Е 0 е − я к р ⋅ Е л м Т М ( к ; р ) ∫ г В | Е л м Т М ( к ; р ) | 2 ) 2 .
Теперь угловые интегралы р − независима, и радиальную интегральную зависимость легко найти как
лим р → ∞ ∫ 0 р г р р 2 Дж λ 2 ( к р ) → π р 2 к 2 ∝ В 1 / 3 ,
лим р → ∞ ∫ 0 р г р р 2 ∫ г θ г ф е − я к р ⋅ Е л м Т М ( к ; р ) ∝ лим р → ∞ ∫ 0 р г р р 2 Дж λ 2 ( к р ) → π р 2 к 2 ∝ В 1 / 3 ,
для любого λ . Тогда искомая дробь равна
Ф ∝ В − 2 3 → 0
в пределе бесконечного объема.

Это происходит для всех мод и связано с тем, что нормировка моды в декартовых координатах пропорциональна В тогда как в сферических координатах он пропорционален В 1 / 3 . Это заставляет меня думать, что невозможно разложить декартову плоскую волну на сферические волны, но это должно быть неверным, исходя из физических аргументов.

Кто-нибудь знает, где я делаю ошибку? или я столкнулся с каким-то реальным ограничением сферических и декартовых координат? Если да, то какая физическая интуиция стоит за невозможностью разложения электромагнитной плоской волны в сферические волны?

Спасибо!

Это, безусловно, возможно для скалярной волны , и ваши проблемы не выглядят специфичными для векторного случая, поэтому я подозреваю, что все сводится к используемому вами методу, но я не полностью понимаю вашу стратегию, поэтому я не могу быть уверен. Я бы попробовал что-то похожее на скалярный случай (разложить пространственную зависимость каждой компоненты, а затем соединить векторный аспект с угловой зависимостью и искать связь с векторными гармониками), но это выглядит беспорядочно и менее естественно, чем для скалярный случай.
Вы правы, я мог бы сформулировать проблему в терминах скалярной волны. В таком случае выражения упрощаются, но проблема остается. Если я возьму выражение из вашей ссылки,
Вы правы, для скалярной волны выражения проще, но проблема остается: если я возьму выражение из вашей ссылки (в 2D полярной системе координат),
е я к р "=" ∑ н "=" − ∞ ∞ ( − я ) н Дж н ( к р ) е я н θ ,
Я нахожу, что зависимость нормы от площади все же различается. С одной стороны,
∫ 0 ∞ г р г θ р | е я к р | 2 "=" лим р → ∞ π р 2 ,
а с другой стороны,
∫ г р г θ р | ∑ н "=" − ∞ ∞ ( − я ) н Дж н ( к р ) е я н θ | 2 ∝ лим р → ∞ р 2 к .
Честно говоря, я понятия не имею, что вы там делаете, и для полной оценки недостаточно деталей. Эти два подынтегральных выражения доказуемо идентичны, поэтому, если вы их интегрируете и получаете разные результаты, проблема заключается в интегрировании. Чтобы выйти за рамки этого, вам нужно будет более подробно объяснить, как вы их вычисляете, а настройка скалярной волны позволит вам более подробно изучить интеграцию.

Ответы (1)

Вы уже видели, что проблема существует и для скалярной волны, так что давайте рассмотрим этот случай, который приводит к гораздо более простым формулам. Распространение плоской волны по сферическим волнам равно
е я к ⋅ р "=" 4 π ∑ л "=" 0 ∞ ∑ м "=" − л л я л Дж л ( к р ) Д л м * ( α , β ) Д л м ( ϑ , ф ) .
Если попытаться нормализовать плоскую волну е я к ⋅ р и сферическая волна Дж л ( к р ) Д л м ( ϑ , ф ) вы попадаете в беду, когда берете ограничения.

Физика лежит в следующем. Плоская волна имеет одинаковую плотность энергии во всем пространстве, и имеет смысл говорить об энергии, заключенной в объеме В , например куб со стороной л . Но это не относится к сферической волне, которая имеет центр и становится слабее по мере удаления от него. Асимптотически, Дж л ( к р ) ∼ 1 / р . Вы можете ограничить волну в сферической полости радиуса р , тогда пусть р уйти в бесконечность. Но две коробки (кубическая и сферическая) не подходят друг к другу.

Выход - использовать дельта нормализация . Я не знаю, знакомы ли вы с этим математическим приемом, и не могу вдаваться в подробности. Обычные нормализации:

  1. Если ψ к 1 ( р ) , ψ к 2 ( р ) представляют собой плоские волны с волновыми векторами к 1 , к 2

    ∫ ψ к 1 ( р ) * ψ к 2 ( р ) г ( 3 ) р "=" дельта ( 3 ) ( к 1 − к 2 )
    и
    ψ к ( р ) "=" ( 2 π ) − 3 / 2 е я к ⋅ р .

  2. Если х л 1 м 1 ( к 1 ; р , ϑ , ф ) , х л 2 м 2 ( к 2 ; р , ϑ , ф ) сферические волны с волновыми векторами к 1 , к 2 и многополюсные режимы л 1 , м 1 , л 2 , м 2 , затем

    ∫ х л 1 м 1 ( к 1 ; р , ϑ , ф ) * х л 2 м 2 ( к 2 ; р , ϑ , ф ) р 2 г р грех ⁡ ϑ г ϑ г ф "=" дельта ( к 1 − к 2 ) дельта л 1 л 2 дельта м 1 м 2 .
    и
    х л м ( к ; р , ϑ , ф ) "=" я л к Дж л ( к р ) Д л м ( ϑ , ф ) .

Нельзя ли разложить ЭМ плоскую волну на сферические волны? (Несоответствие нормализации)
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v