Разложение Тейлора квантового гамильтониана по классическому параметру: некоторые результаты более «реальны», чем другие?

Предположим, у меня есть квантовый гамильтониан ЧАС ( { θ к } , { н к θ } ; λ ) , где каждый θ к и н к являются сопряженными переменными, удовлетворяющими коммутационным соотношениям [ θ к , н к ′ θ ] "=" я дельта к , к ′ , пока λ берется как классический параметр (предположим пока, что он не зависит от времени). На практике λ могут быть «сгруппированы» с различными членами гамильтониана, но можно определить преобразования вида U "=" опыт ⁡ ( − я λ н к θ ) "изменить группировку". Например, рассмотрим следующее ЧАС "=" U + Т , где

U "=" − Е Дж потому что ⁡ ( θ ) + Е л ( θ − λ ) 2
и
Т "=" Е С ( н θ ) 2
Так ясно, λ «сгруппировано» с термином с префактором Е л . Теперь давайте определим
U "=" опыт ⁡ ( − я λ н θ ) )
что позволяет записать преобразованный гамильтониан***
ЧАС ′ "=" U † ЧАС U
(при условии λ не зависит от времени), что приводит к
ЧАС ′ "=" Е С ( н θ ) 2 − Е Дж потому что ⁡ ( θ + λ ) + Е л ( θ ) 2
Ясно, что теперь "группировка" λ с условиями с префактором Е Дж .

Мы должны ожидать, что физика этих двух описаний будет одинаковой. А именно если | к > и | к ′ > являются собственными векторами нештрихованного и простого гамильтонианов, то < к | ЧАС | м >=< к ′ | ЧАС ′ | м ′ > , и то же самое было бы верно для любого наблюдаемого оператора A и A'. А именно < к | А | м >=< к ′ | А ′ | м ′ > .

... теперь моя проблема связана со следующим. Кажется, очень часто предполагается, что λ можно записать как

λ "=" λ 0 + дельта λ
где λ 0 обычно считается статическим и дельта λ как малая (обычно зависящая от времени) коррекция. Тогда можно записать приближенный гамильтониан, используя разложение Тейлора, как
ЧАС ≈ ЧАС ( λ "=" λ 0 ) + ∂ ЧАС ∂ λ | λ 0 дельта λ
Затем второй член можно рассматривать как возмущение с дельта λ рассматривается как «шумовой термин». Затем (например), используя Золотое правило Ферми, можно рассчитать скорость распада между собственными состояниями ЧАС ( λ "=" λ 0 ) , которые зависят от матричных элементов < к | ∂ ЧАС ∂ λ | м > .

Проблема для меня заключается в том, что может показаться, что ответ (скажем, ставки), который я получу, на самом деле зависит от того, как я «сгруппировал». λ . Это можно показать для приведенного выше примера, но также можно показать, что в общем случае

< к | ∂ ЧАС ∂ λ | м >≠< к ′ | ∂ ЧАС ′ ∂ λ | м ′ >
если к ≠ м . Таким образом, это подскажет мне, что одна из группировок λ является «более особенным», чем другой, но, конечно, этого не может быть, так как я знаю, что могу пройти между группами λ простым унитарным преобразованием.

Итак, мой вопрос на самом деле: что мне не хватает в этом обсуждении? Я предполагаю, что разложение Тейлора является лишь приближением к эффективному гамильтониану, но даже если это так, то какая именно группировка лучше отражает «реальность» и приведет к более точным результатам (например, при расчете скоростей релаксации)?

Для тех, кто заинтересован, этот метод рассмотрения малых пертурбативных разложений Тейлора используется (например) при рассмотрении эффектов шума (например, из-за потока) в сверхпроводящих цепях.

Спасибо!

***: Я понимаю, что для того, чтобы прийти к ЧАС ′ , я предполагал, что λ не зависит от времени, но позже в расширении Тейлора я беру λ дельта потенциально иметь зависимость от времени, как это принято в этих расчетах. Я думаю, однако, что вопрос по-прежнему актуален, даже если бы я предположил, дельта λ мала и не зависит от времени.

Пара конкретных ссылок, где делается это расширение Тейлора:

Ответы (1)

Я подозреваю, что ваше замешательство происходит из-за того, что унитарное преобразование U вы подаете заявку зависит от λ .

Когда вы вычисляете скорости перехода, вы смотрите на разложение вашего вектора состояния как:

| ψ ⟩ "=" ∑ к ψ к ( т ) е − я к т | к ⟩

где | к ⟩ являются собственными векторами ЧАС ( λ о ) . Скорости перехода управляют временной эволюцией ψ к ( т ) :

д ψ к д т ( т ) "=" − я ∑ л ⟨ к | дельта ЧАС | л ⟩ ψ л ( т ) е я ( к − л ) т

и дельта ЧАС "=" ЧАС ( λ ) − ЧАС ( λ о ) есть разница между гамильтонианом ЧАС ( λ ) под которым | ψ ⟩ эволюционирует и невозмущенный гамильтониан ЧАС ( λ о ) чьи собственные векторы | к ⟩ .

Итак, если мы хотим использовать дельта ЧАС ′ "=" ЧАС ′ ( λ ) − ЧАС ′ ( λ о ) вместо этого нам нужно понять точное значение скорости перехода, которую мы будем вычислять. Теперь возмущенный гамильтониан, при котором | ψ ⟩ ′ развивается ЧАС ′ ( λ ) , так | ψ ⟩ ′ должно быть U † ( λ ) | ψ ⟩ (при условии, что λ не зависит от времени...), а базисные векторы | к ⟩ ′ являются собственными векторами ЧАС ′ ( λ о ) , т.е. | к ⟩ ′ "=" U † ( λ о ) | к ⟩ . Другими словами, мы рассматриваем:

| ψ ⟩ ′ "=" ∑ л ψ л ( т ) е − я л т U † ( λ ) | л ⟩ "=" ∑ к ( ∑ л ψ л ( т ) е я ( к − л ) т ⟨ к | U ( λ о ) U † ( λ ) | л ⟩ ) е − я к т | к ⟩ ′ "=" ∑ к ψ к ′ ( т ) е − я к т | к ⟩ ′

Ой, ψ к ′ ( т ) ≠ ψ к ( т ) ! Вот почему скорости перехода, управляющие их временной эволюцией, различны! На самом деле, если мы проведем расчет, скажем, в порядке 1 в дельта λ , скорости перехода будут различаться именно так, чтобы учитывать различное определение ψ к ( т ) против ψ к ′ ( т ) (расширяется также при заказе 1).

Конечно, какой ответ является «правильным», зависит, в конце концов, от того, что именно вы измеряете, т. е. следует ли ваш эксперимент за эволюцией ψ к ′ ( т ) или из ψ к ( т ) . Чтобы проиллюстрировать это, давайте рассмотрим два простых экспериментальных протокола:

  1. Начальное разложение | ψ ⟩ на основании | к ⟩ измеряется в т "=" 0 − , то из т "=" 0 + к т "=" т − , классическое возмущение дельта λ включается, так что за это время | ψ ⟩ развивается под ЧАС ( λ ) , и, наконец, разложение | ψ ⟩ на основании | к ⟩ снова измеряется в т "=" т + . В этом случае опыт измеряет эволюцию ψ к ( т ) .

  2. Тот же протокол, но детали «включения» дельта λ теперь имеют побочный эффект поворота вектора состояния на U ( λ ) U † ( λ о ) , так что

    | ψ ( 0 + ) ⟩ "=" U ( λ ) U † ( λ о ) | ψ ( 0 − ) ⟩
    и
    | ψ ( т + ) ⟩ "=" U ( λ о ) U † ( λ ) | ψ ( т − ) ⟩
    Эквивалентно,
    | ψ ( 0 + ) ⟩ ′ "=" ∑ к ψ к ′ ( 0 ) | к ⟩ ′
    с ψ к ′ ( 0 ) совпадающие с коэффициентами | ψ ⟩ на основании | к ⟩ в т "=" 0 − , и аналогично при т "=" т ± . Таким образом, в данном случае опыт измеряет эволюцию ψ к ′ ( т ) .

TL;DR:

  • Если рассматривать только одно значение λ , выбор применения U ( λ ) или нет совершенно произвольно: в конце концов, это всего лишь унитарная смена базиса, никакой физический результат никогда не может зависеть от базиса, в котором мы делаем вычисления.

  • Но если в данном эксперименте сравнивается эволюция между различными значениями λ , это сравнение будет зависеть от λ -зависимые изменения базиса, и нам нужно точно проанализировать, например, динамику того, насколько точно λ включен, чтобы получить правильный ответ (как показано в примере выше, нам нужно использовать λ -зависимый базис, в котором «включение» является «прозрачным», т.е. только модифицирует гамильтониан за время дельта λ включен, не влияя на вектор состояния в момент его включения/выключения).

спасибо за ваш ответ... я свяжусь с вами в ближайшее время.
Наконец-то появилась возможность ответить. Относительно вашего первого предложения; Я не думаю, что я смущен U в зависимости от λ - Я согласен с этим, и фактически использовал этот факт, чтобы показать, что < к | ∂ ЧАС ∂ λ | м >≠< к ′ | ∂ ЧАС ′ ∂ λ | м ′ > ...
Мое «замешательство» (беда?) состоит больше в том, что в известных мне газетах группировка λ обычно является несколько произвольным (потому что, в конце концов, динамика не зависит от группировки), но, возможно, все это обсуждение показывает, что при взятии производной для вычисления (приблизительного) оператора связи с шумом (т.е. я н о я с е "=" ∂ ЧАС / ∂ λ ), группировка действительно имеет значение...
Так что, возможно, вместо этого нужно начать с какого-то конкретного λ группировка, соответствующая «лабораторному кадру», — тогда получаем я н о я с е внутри этого фрейма (аргументом, что это «правильный» фрейм, определяющий я н о я с е в лаборатории), то, поскольку любая «перегруппировка» λ выполняется некоторым унитарным оператором U, этот оператор также необходимо применить к я н о я с е для того, чтобы получить последовательные результаты ... это звучит разумно для вас? еще раз спасибо, что нашли время, чтобы прочитать и ответить на этот пост.
Я не знаком с вашим конкретным доменом приложения, но на общем уровне я его понимаю следующим образом:
Пока вы рассматриваете только одно конкретное значение λ , вы правы в том, что выбор работы в пространстве состояний вращается U ( λ ) совершенно нормально: это действительно просто выбор основы, и действительно произвольный.
Однако, когда мы начинаем писать λ "=" λ о + дельта λ , и сравнивая "возмущенную" динамику с "эталонной", вот где λ -зависимость от U ( λ ) становятся предательскими, bcs, как показывают приведенные выше вычисления, исследуемый вектор состояния поворачивается на U ( λ ) , но опорные векторы, на которые мы его разлагаем, повернуты на U ( λ о ) .
Применение U ( λ ) тому, что вы называете я не хватит, думаю, бкс я ′ получает дополнительный вклад от ∂ U / ∂ λ (математика здесь аналогична «фиктивным силам», возникающим при работе в неинерциальной системе отсчета в классической механике, хотя физика немного отличается: здесь pb приходит bcs U зависит от λ и мы сравниваем разные λ , тогда как в механике pb происходит от зависящей от времени смены системы отсчета).
но если мой я были произвольной наблюдаемой (даже зависящей от λ ), затем преобразуя его через U † ( λ ) я U ( λ ) дал бы мне последовательные результаты, если бы я «перегруппировал» λ в моем гамильтониане с использованием U ( λ ) . Нет?
Пб вот это я строго говоря, не наблюдаемая, а сравнение наблюдаемых в ≠ λ х, так я ′ "=" ∂ ЧАС ′ / ∂ λ "=" ∂ ( U ЧАС U † ) / ∂ λ "=" U я U † + ( ∂ U / ∂ λ ) ЧАС U † + U ЧАС ( ∂ U † / ∂ λ ) . С использованием U U † "=" 1 , у нас есть ( ∂ U / ∂ λ ) U † + U ( ∂ U † / ∂ λ ) "=" 0 , так что это оставляет дополнительный вклад в I' of [ ( ∂ U / ∂ λ ) U † , ЧАС ′ ] .
хе-хе ... "дополнительный вклад", который вы показываете выше, в первую очередь является причиной вопроса, потому что это просто определение я ′ "=" ∂ ЧАС ′ / ∂ λ . Спасибо еще раз в любом случае. Я еще подумаю обо всем этом...
@heythereitsme Я добавил дальнейшее обсуждение того, как «правильный» выбор зависит от экспериментального протокола. А именно, не существует «предпочтительной базы» для данной лаборатории (база — это, в конце концов, просто произвольный выбор), НО, если эксперимент изменит значение λ (как и должно быть, чтобы сравнить эволюцию при разных значениях), то именно динамика того, как это происходит, выберет правильный λ -зависимая основа.
@heythereitsme Как я уже сказал, я не знаком с вашим конкретным доменом, поэтому мои «игрушечные протоколы», вероятно, намного проще, чем то, с чем вы имеете дело, но я надеюсь, что это может дать вам некоторое представление о том, что может происходить в случае вас интересует. (кстати, спасибо, что приняли мой ответ :)
Разложение Тейлора квантового гамильтониана по классическому параметру: некоторые результаты более «реальны», чем другие?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v