Всегда ли основное состояние в КМ уникально? Почему?

Я видел несколько ссылок, в которых говорится, что в квантовой механике с конечными степенями свободы всегда существует уникальное (то есть невырожденное) основное состояние, или, другими словами, что существует только одно состояние (с точностью до фазы) гамильтониана с минимальным собственным значением.

Мои вопросы:

  1. Это правда?

  2. При каком условии это правда?

  3. Я могу легко построить эрмитов оператор в конечномерном пространстве, который имеет два младших собственных вектора. Например, если { | а ⟩ , | б ⟩ , | с ⟩ } является ортонормированным базисом трехмерного гильбертова пространства, определяют гамильтониан

    ЧАС знак равно 1 ⋅ | а ⟩ ⟨ а | + 1 ⋅ | б ⟩ ⟨ б | + 2 ⋅ | с ⟩ ⟨ с | .
    затем | а ⟩ а также | б ⟩ являются двумя основными состояниями. Если ответ на Q1 был «да», как это согласуется с этим гамильтонианом?

Комментарии к формулировке вопроса (v2): Кажется, только на Q2 вы еще не ответили. Возможно, вам следует включить свои ссылки, чтобы мы могли самостоятельно проверить, что именно там говорится.
Что ж, это, вероятно, мало поможет, но мои рекомендации — мой лектор по КТП и печатная копия неопубликованного проекта заметок по КТП, на которые я наткнулся, и мне сказали, что это очень выдающийся физик (я скорее имя не упоминать, так как черновик неопубликован...) Если никто не знаком с этим вопросом уникальности связанного состояния, то забудьте мой вопрос... В любом случае, я не думаю, что ответил сам себе, и если да , Я хотел бы, чтобы вы переформулировали мой ответ, чтобы я понял его.
Если вам нравится этот вопрос, вы также можете прочитать этот пост Phys.SE.
@Lior Интересно, не могли бы вы кое-что прояснить. Как вы заметили, в конечномерных гильбертовых пространствах определенно существуют самосопряженные операторы с вырожденными младшими собственными значениями. Я бы истолковал ваш вопрос как «существуют ли реальные физические системы, характеризуемые конечномерными гильбертовыми пространствами с гамильтонианами, имеющими вырожденное основное состояние?» главное, что этот последний вопрос не является чисто математическим; это также компонент вашего исходного вопроса?
@Lior: Заявленное утверждение в вашем вопросе на самом деле не имеет никакого смысла, как вы понимаете. Возможно, вместо этого утверждалось, что (i) каждый потенциал в конечномерной обычной КМ имеет уникальное основное состояние? (ii) общий смысл в том, что в КМ нет «случайных» вырождений (поскольку они требуют точной настройки нулевой меры)? (iii) Что-то в связи с более конкретной системой.
Итак, я думаю, мой вопрос на самом деле таков: правда ли, что реалистичные физические системы, описываемые КМ с конечными степенями свободы, всегда имеют уникальное основное состояние? Если да, то почему? И, в частности, может ли частица в одномерном потенциале V(x) иметь вырожденные основные состояния (математически)?
Это, конечно, не так, как сказано. Например, ядро ​​имеет конечное число степеней свободы, но основные состояния ядра часто имеют ненулевой спин, поэтому они вырождены.

Ответы (3)

Я считаю, что это верно до тех пор, пока не существует нетривиального унитарного оператора U который коммутирует с гамильтонианом ( [ ЧАС , U ] знак равно 0 ) в подпространстве основных состояний. Если такой оператор существует, то для основного состояния | ф 0 ⟩ с энергией Е 0 у нас есть

ЧАС U | ф 0 ⟩ знак равно U ЧАС | ф 0 ⟩ знак равно Е 0 ( U | ф 0 ⟩ )
так что U | ф 0 ⟩ также имеет наименьшую возможную энергию Е 0 и, таким образом, это также основное состояние. Заметим, что утверждение о нетривиальности U является важным. Оно должно быть нетривиальным в подпространстве основных состояний, т. е. U | ф 0 ⟩ ≠ е я θ | ф 0 ⟩ для любой фазы θ , иначе вырождения нет. (Унитарность нужна, чтобы U | ф 0 ⟩ есть состояние с нормой 1)

Более кратко, если существует унитарный оператор U такой, что [ ЧАС , U ] знак равно 0 а также U | ф 0 ⟩ ≠ е я θ | ф 0 ⟩ для любой фазы θ тогда мы имеем вырождение основного состояния.

В приведенном вами примере мы видим, что матричные элементы в заданном базисе { | а ⟩ , | б ⟩ , | с ⟩ } является

ЧАС знак равно ( 1 0 0 0 1 0 0 0 2 )
из которого мы видим, что существует унитарный оператор с матричными элементами
U знак равно ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 )
который коммутирует с ЧАС и нетривиален в пространстве основных состояний.

Доказательство того, что не существует U подразумевает невырожденное основное состояние:

Предполагать ∄ U ул. { [ ЧАС , U ] знак равно 0     а также     U | ф 0 ⟩ ≠ е я θ | ф 0 ⟩ }

Теперь для каждого состояния | а ⟩ а также | б ⟩ , ∃ U а б который является унитарным, который выводит нас из | а ⟩ → | б ⟩ . Нас интересует оператор, который нас доставит из | ф 0 ⟩ любому _ | а ⟩ в нашем гильбертовом пространстве (которое, очевидно, включает в себя все возможные основные состояния), которое мы обозначаем через U а 0 . Это означает, что любое государство | а ⟩ можно записать как | а ⟩ знак равно U а 0 | ф 0 ⟩ . По нашему исходному предположению U а 0 либо удовлетворяет

( 1 )             [ ЧАС , U а 0 ] ≠ 0 ,                 или же                 ( 2 )           U а 0 | ф 0 ⟩ знак равно е я θ | ф 0 ⟩
Если (1), то имеем
ЧАС | а ⟩ знак равно ЧАС U а 0 | ф 0 ⟩ ≠ U а 0 ЧАС | ф 0 ⟩ знак равно Е 0 | а ⟩       ⟹       ЧАС | а ⟩ ≠ Е 0 | а ⟩
так что | а ⟩ ≠ | ф 0 ⟩ не является основным состоянием.

Если (2), то | а ⟩ знак равно е я θ | ф 0 ⟩ так что | а ⟩ а также | ф 0 ⟩ представляют одно и то же государство.

Таким образом, несуществование U подразумевает отсутствие второго основного состояния и, следовательно, невырожденность.

1) Вы показали, что существование U влечет за собой вырождение основного состояния. Как я могу показать, что отсутствие U влечет за собой невырожденность основного состояния? 2) Всегда ли в случае одиночной частицы в потенциале V(x) такого U не существует? т. е. всегда ли верно, что основное состояние уникально?
Я подумаю об этом и опубликую, когда у меня будет решение.
@Qmechanic Я согласен с вами, поэтому я также включил ограничение на основное состояние.
@Lior: существование второго собственного состояния с энергией Е 0 эквивалентно существованию оператора U . Просто создайте оператор, который меняет местами ф 0 а также ф 1 и оставляет все остальные базисные векторы без изменений.
Таким образом, отсутствие U подразумевает отсутствие второго состояния.
Спасибо @JerrySchirmer, я должен был добавить эту строчку - теперь я это сделал :)
Я думаю, что в доказательстве есть логическая ошибка, поскольку HU != UH не влечет HU|phi0> != UH|phi0>. Кроме того, ваше доказательство в равной степени применимо ко всем собственным состояниям энергии, а не только к основным состояниям (что не является ошибкой, но мне интересно, есть ли что-то особенное в основном состоянии).
Ах, это не неправильно, просто не хватает деталей (извините, я мог бы быть более ясным). Прежде всего, я намеревался U а б поменять местами состояния а а также б , а не в одну сторону. Так, U а 0 свопы | а ⟩ а также | ф 0 ⟩ . Таким образом, когда мы говорим [ ЧАС , U а 0 ] ≠ 0 он равен нулю везде, кроме подпространства собственных состояний | а ⟩ а также | ф 0 ⟩ . Так что [ ЧАС , U а 0 ] ≠ 0 на самом деле подразумевает [ ЧАС , U а 0 ] | ф 0 ⟩ ≠ 0 . Я могу внести изменения в свое решение, чтобы сделать его более последовательным, если хотите, но я думаю, что это нужно сделать завтра, когда я немного посплю :)
Кроме того, конечно, это доказательство может быть применено к любому вырождению любых собственных состояний энергии в системе, но вы спросили о вырождении основного состояния , поэтому я ответил в терминах основного состояния .
Не нужно ли нам быть осторожными здесь, так как могут существовать нетривиальные унитарные операторы U такой, что U | ф 0 ⟩ знак равно | ф 0 ⟩ , и, следовательно, не является физически другим состоянием, поэтому вырождения нет. Например, представьте основное состояние как ( 1 , 0 ) Т и рассмотреть а н у унитарная диагональная матрица. Результат этого действия до сих пор ( 1 , 0 ) Т . Я чувствую, что должно быть другое условие на U , так как только потому, что это не меняет с п е с я ф я с state не делает его тривиальным оператором.
Этот ответ не более чем тавтология. U который вы построили, в значительной степени синонимично утверждению «основное состояние вырождено», и этот ответ не дает значимых аргументов ни за, ни против существования нетривиальных U с., к фактическому содержанию этого поста в значительной степени бесполезен.

Чтобы было ясно:

Всегда ли основное состояние квантовой системы невырождено?

ответ однозначный нет . Реальные квантовые системы могут иметь и имеют вырожденные основные состояния.

Некоторые примеры:

  • Для трехуровневой системы с гамильтонианом

    ЧАС знак равно ( 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ) ,
    как указано в OP, основное состояние является вырожденным. Это должно быть все, что необходимо, чтобы показать, что утверждение в целом ложно.

  • Практически все атомы в вакууме без поля имеют вырожденные основные состояния, простейшими примерами которых являются бор и углерод. п -электроны оболочки, которые соответствуют нескольким ортогональным состояниям магнитного квантового числа при одной и той же энергии. То же самое верно почти для всех элементов периодической таблицы, за исключением атомов с полными подоболочками. Таким образом, щелочноземельные металлы, благородные газы и самые правые столбцы переходных металлов и редкоземельных элементов имеют невырожденные основные состояния, а все остальное вырождено.

    (С другой стороны, важно отметить, что такого рода вырожденные основные состояния могут быть относительно хрупкими, поэтому, например, если атом попадет в блуждающую часть магнитного поля, это поднимет вырождение, часто на нетривиальную величину. Однако , это не означает, что основное состояние свободного атома не является вырожденным.)

  • Это в точности та же ситуация, что и указанная в комментарии относительно атомных ядер, основное состояние которых в общем случае будет иметь ненулевой угловой момент и, следовательно, будет пространственно вырожденным.

  • Множество ферромагнитных и антиферромагнитных материалов в решетках, демонстрирующих геометрическое расстройство , которое лучше всего видно графически:

    То есть, если три спина связаны попарными антиферромагнитными связями, они пытаются указывать в противоположных направлениях друг к другу, но нет глобального решения, которое позволило бы избежать высокоэнергетического параллельного выравнивания. Тогда это естественным образом приводит к вырожденному многообразию основного состояния.

Итак, существует большой класс гамильтонианов, для которых можно показать невырожденность основного состояния ─ они достаточно подробно и с хорошими ссылками исследованы в этой ветке MathOverflow ─ которая включает множество гамильтонианов вида − ∇ 2 + В , независимо от размерности, для различимых квантовых частиц. Однако этот класс не включает все возможные системы, особенно если вы включаете статистику фермионных частиц со строгими требованиями антисимметрии к волновой функции.

Не могли бы вы дать ссылку на тот факт, что точно такая же энергия состояний магнитного квантового числа большинства атомов? Учитывает ли это утверждение сверхтонкую структуру?
@Ruslan Это стандартный материал, и он подробно объясняется в любом вводном учебнике по квантовой механике. Этому ответу более двух лет; если вы хотите задать второстепенные вопросы или узнать подробности, сделайте это в отдельной ветке.
Хорошо, мой комментарий был связан с этой темой .
Этот связанный поток исследует детали некоторых утверждений в этом ответе.

Не уверен в этом, но если вы используете этот унитарный оператор для создания другого основного состояния, то (если нет бесконечного потенциала между основными состояниями) вы можете найти некоторую амплитуду для туннелирования между двумя состояниями, и, следовательно, основное состояние представляет собой некоторую линейную комбинацию два, причем одна из комбинаций ниже исходной (а другая выше исходной). Для людей, которым нужно реальное объяснение, см. главу 21 Шанкара Принципов QM, раздел о формализме мнимого времени.

Всегда ли основное состояние в КМ уникально? Почему?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v