Разница между гамильтонианом в классической механике и в квантовой механике

Ваш вопрос ошибочен, начиная с вашего 3-го пункта:

Математически гамильтониан в CM является просто функцией переменных q, p, но в квантовой механике это эрмитов оператор

Это одна из самых устойчивых неправд в торговле, связанная с особым развитием отрасли. На самом деле квантовая механика может быть прекрасно описана в фазовом пространстве , а классическая механика — в гильбертовом пространстве . Причина в существовании обратимого отображения Вигнера-Вейля , соединяющего фазовое пространство и гильбертово пространство в полной и практической эквивалентности.

Таким образом, это устраняет ложный контраст вашего первого пункта:

В классической физике гамильтониан определяет канонические переменные, но в КМ оператор Гамильтона определяет только одну величину ψ .

Вводит в заблуждение. В обоих случаях гамильтониан выполняет одну и ту же работу. Классическое эволюционное уравнение Лиувилля (для которого детерминированные траектории могут быть определены через δ-функции плотности Лиувилля) может быть расширено в КМ с помощью детерминированного уравнения Мойала (выполняющего функцию уравнения Шредингера), которое описывает эволюцию вигнеровского распределения квазивероятностей, вместо этого . Поскольку эта формулировка автоматически кодирует принцип неопределенности, полная локализация δ-функции в фазовом пространстве невозможна, а значит, траекторий, строго говоря, не существует, а жидкость вероятности диффундирует.

Тем не менее, это не полностью устраняет ваш второй пункт, который фактически неверен сам по себе:

Классическое движение определяется каноническими уравнениями (принцип наименьшего действия), а КМ-гамильтониан строится так, чтобы удовлетворять уравнению Шрёдингера (не выводится из принципа наименьшего действия).

В самом деле, уравнения Лиувилля следуют непосредственно из канонических уравнений движения, вытекающих из принципа экстремума действия, который теперь понимается как классический предел КМ после открытия Дирака в 1933 г. , стр. 69, и систематизирован в формулировке интеграла по путям Фейнмана,$\hbar$предел.

Как ни странно и довольно обескураживающе, уравнение Шредингера также может быть получено из хорошо известного экстремума$\int dt dx ~\psi^*(x,t) (i\hbar \partial_t -H) \psi(x,t)$, даже несмотря на то, что такого предела деструктивной интерференции нет! (?) Я давно задавался этим вопросом и пришел к выводу, возможно ошибочному, что это «случайность», а именно тот тривиальный факт, что любое линейное уравнение равносильно экстремуму квадратичной эрмитовой формы. Но я действительно не могу быть уверен. Не могли бы вы?

$\bullet$Волновая функция имеет информацию как о положении, так и о импульсе, так что в некотором смысле вы правы. Но не особенно полезно считать количества так, как вы делаете здесь: напишите$X_\Psi:=(q,p),\ \nabla:=(\tfrac{\partial}{\partial q},\tfrac{\partial}{\partial p})$и$\omega:=\begin{pmatrix} 0&1\\ -1&0 \end{pmatrix}$. Теперь ваше классическое уравнение$\dot X_\Psi=\omega \nabla H$, где$H$а значит и вектор$\omega \nabla H$является функцией$X_\Psi$, и это тоже всего лишь одно уравнение для одной величины.

$\bullet$Да, волновая функция рассматривается как взвешенное отклонение принципа действия классических точечных частиц. Но для одночастичной волновой функции уравнение Шредингера — это просто уравнение поля, и оно также имеет лагранжиан,$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi^{*}} - \left(\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial t}} + \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\frac{\partial \psi^{*}}{\partial x_j}}\right) = 0$с$\mathcal{L}\left(\psi, \mathbf{\nabla}\psi, \dot{\psi}\right) := \mathrm i\hbar\, \frac{1}{2} (\psi^{*}\dot{\psi}-\dot{\psi^{*}}\psi) - \frac{\hbar^2}{2m} \mathbf{\nabla}\psi^{*} \mathbf{\nabla}\psi - V( \mathbf{r},t)\,\psi^{*}\psi$.

$\bullet$Это определения, да. Но оба обеспечивают обе, энергетическая функция оператора, генерирующего время развития. Функция для эрмитовых операторных отображений$\psi$к$\left\langle\phi\right|H\left|\phi\right\rangle$, см. здесь , и приведенные выше уравнения обеспечивают поток, отображающий состояние за раз$t_i$до состояния за раз$t_f$.