Разница между DMRG (группа реномализации матрицы плотности) и MPS (состояния матричного произведения)?

Недавно изучаю DMRG . Я заметил, что есть много статей как о подходе DMRG, так и о подходе MPS (например, о состоянии вариационного матричного продукта (VMPS) F. Verstraete и JICirac). На мой взгляд, между этими двумя подходами нет глубокой разницы. Один вопрос, который может быть смоделирован с помощью MPS, также может быть решен с помощью DMRG. Итак, в практических вычислениях в одномерных системах я считаю, что DMRG предпочтительнее из-за его простоты. Есть ли у подхода mps типичное преимущество перед DMRG в практическом моделировании?

Современные коды DMRG в основном пишутся как vMPS, потому что vMPS концептуально проще. Но, конечно, какой из них проще, в некоторой степени субъективный вопрос.
@MengCheng Думаю, теперь я лучше понимаю эти два подхода. MPS является причиной того, что DMRG может обеспечить такую ​​хорошую точность при обнаружении низкой запутанности одномерных систем. В то время как VMPS отличается от DMRG при моделировании систем в граничных условиях PBC. Я думаю, что у VMPS больше, чем у DMRG. DMRG в некотором роде является специальной версией MPS.

Ответы (3)

Состояние матричного произведения (MPS) - это способ записи квантовых состояний многих тел. Это естественное представление для бесконечных одномерных состояний, что двудольная энтропия запутанности подчиняется закону площадей ( С "=" с о н с т а н т ). Это не означает, что он не может представлять конечные системы, которые не являются одномерными и С "=" Ф ( л ) , где L — некоторая размерность системы. В зависимости от размерности и размера системы MPS может более или менее эффективно аппроксимировать полное состояние.

Важно понимать, что, хотя возможно точно описать полное состояние многих тел, используя гораздо меньше информации , чем имеет полное состояние («многое» означает экспоненциально меньше), не очевидно, что это возможно сделать в течение одного времени. экспоненциально более эффективный алгоритм, чем точная диагонализация.

Группа перенормировки матрицы плотности (DMRG) — эффективный метод поиска оптимального MPS-представления состояния многих тел. Например, он может точно нацеливаться на основные состояния одномерных систем с промежутками. Однако это только царапает поверхность его применимости. Здесь важно отметить, что DMRG может ориентироваться на общие состояния, которые могут быть хорошо аппроксимированы MPS, а не только на основные состояния, однако для этого вам нужно выполнить Shift-Inversion с некоторой итеративной последовательностью. А Икс "=" б решатель. В последнее время в этом направлении был достигнут большой прогресс в исследованиях с использованием метода DMRG для нацеливания на высоковозбужденные состояния (конечная плотность энергии) в системах локализации многих тел (MBL), и этот метод теперь называется DMRG-X (с «X» означает возбужденное состояние). Также важно отметить , что DMRG может быть не самым эффективным алгоритмом, но это наиболее распространенный алгоритм для оптимизации MPS.

Добро пожаловать в StackExchange по физике! Обратите внимание, что у нас есть уценка, которую вы можете использовать для акцента, а не для прописных букв. У нас также есть Mathjax для уравнений .
@EverettYou DMRG-X — не единственный способ ориентироваться на состояния выхода MBL. Я использовал самодельный алгоритм, который использует нелинейный сопряженный градиент для локального инвертирования состояния. Затем инвертированное состояние имеет основное состояние, которое можно специально выбрать начальным сдвигом гамильтониана, и сходимость происходит быстро. Если вы хотите использовать CG-подобную инверсию, вам нужен знакоопределенный гамильтониан, которого вы можете достичь, используя квадратный гамильтониан или решая нормальные уравнения. Гамильтониан симметричен, поэтому решения для квадратного гамильтониана достаточно и оно оказывается более точным.
@AlexisMichailidis Конечно, я не говорил, что DMRG-X - единственный способ нацелиться на собственные состояния MBL. В прошлом году было разработано много методов, в том числе методы на основе MPS или RG.

MPS - это анзац-волновые функции, которые необходимо оптимизировать для описания основного состояния данного гамильтониана.

DMRG — один из лучших методов оптимизации MPS. Поэтому вы можете думать о MPS как о структуре, а DMRG как об алгоритме. Конечно, исторически сложилось не так, а таково современное переосмысление.

«DMRG — оптимальный метод оптимизации MPS»: почему?
@NorbertSchuch Это то, что я слышал. Но вы наверняка здесь эксперт, и если мое утверждение неверно, я с радостью изменю свой ответ.
Последовательная оптимизация тензоров, как это сделано в DMRG, безусловно, является методом, который очень хорошо работает на практике. Однако я бы не стал утверждать, что он оптимален в целом. (Например, можно создать экземпляры, в которых он может застрять.) Я не думаю, что у нас есть хорошее представление о том, каким будет оптимальный метод (и, кроме того, это может зависеть от добротности).
@NorbertSchuch: Хорошо, я не был уверен, есть ли доказательства того, что это оптимальный метод. Тогда я изменю это на «один из лучших методов, которые у нас есть». Спасибо.
Неясно даже, как последовательная оптимизация MPS находит глобальный оптимум. (Можно задать задачи + начальные условия, при которых такая оптимизация не работает: arxiv.org/abs/quant-ph/0609051 ) Обратите внимание, что существует доказуемо сходящийся алгоритм, который, однако (по крайней мере, на данный момент) гораздо менее практичен: arxiv .org/abs/1307.5143

Я думаю, что mps — это внутренняя структура DMRG. А также mps является причиной того, что DMRG может преуспеть в обнаружении низкой запутанности одномерных систем. При рассмотрении систем в состоянии PBC VMPS может достичь гораздо лучших результатов, чем DMRG. В некотором смысле я думаю, что DMRG — это не что иное, как особая версия подхода VMPS. Теория DMRG заключается в mps.

Исторически MPS была обнаружена путем изучения волновой функции, полученной в DMRG, и когда вся мощь MPS была раскрыта, DMRG была переформулирована с помощью MPS. Но даже с MPS трудно иметь дело с PBC, хотя существует очень мощный метод для бесконечной системы, обычно называемый iDMRG.
«Исторически MPS был обнаружен путем проверки волновой функции, полученной в DMRG» - я (частично) не согласен. Подобные MPS анзацы были известны и раньше, например конечно-коррелированные состояния Фаннеса-Нахтергале-Вернера (но я почти уверен, что такие анзацы были записаны раньше).
@MengCheng «Но даже с MPS с PBC трудно справиться» - как насчет VMPS Ф.Верстраете (arXiv:cond-mat/0404706), а затем улучшенного Уайтом (arXiv:0801.1947)? В этих двух статьях они сказали, что МП в ПБК может дать гораздо лучшие результаты, чем традиционная DMRG, даже такие же хорошие, как традиционная DMRG в ОВС.
@NorbertSchuch Я согласен с тобой. MPS был открыт раньше, чем DMRG. Но его мощь в моделировании одномерных квантовых систем была обнаружена в DMRG.
@NorbertSchuch Я согласен, конечно коррелированные состояния были записаны примерно в то же время, что и исходная DMRG. Но, может быть, будет справедливо сказать, что важность MPS в 1D была полностью оценена после того, как была обнаружена связь с DMRG.
@MengCheng Я, конечно, согласен.
Алгоритм в arXiv:0801.1947 вызывал решающее приближение в уравнении. 8, который усек произведение матриц переноса. У меня сложилось впечатление (из разговоров со специалистами DMRG/MPS), что этот способ усечения редко применяется на практике даже в наши дни. Может быть, @NobertSchuch сможет больше прокомментировать алгоритм.
@MengCheng Я разговаривал с профессором Тао Сяном. Он считает, что этот алгоритм Ф.Верстрате(arXiv:cond-mat/0404706) и Уайта(arXiv:0801.1947) не получил широкого распространения из-за его низкой эффективности, даже улучшенного Уайтом. Возможно, это также не стабильно при решении обобщенной проблемы собственных значений (H x = lamda N x). Но даже несмотря на его низкую эффективность, Ф. Верстрате нашел причину, по которой традиционная DMRG имеет плохой результат в PBC (Его волновая функция должна быть аппроксимирована mps в PBC, в то время как в традиционной DMRG предполагалось, что mps в OBC даже в физической системе находится в КПБ).
Разница между DMRG (группа реномализации матрицы плотности) и MPS (состояния матричного произведения)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v