Фиксированная точка Уилсона-Фишера в измерениях 2+1

Question

Фиксированная точка Уилсона-Фишера в измерениях 2+1

Либертарианский феодал-бот

В статье Натана Зайберга, Т. Сентила, Чонга Ванга и Эдварда Виттена:

Сеть дуальности в измерениях 2+1 и физика конденсированного состояния

на странице 1 утверждается, что две теории

| Д_{Б} ф |^{2} - г | ф |^{4} ⟷ \frac{- 1}{4 е^{2}} {\hat{ф}}_{мю ν} {\hat{ф}}^{мю ν} + | Д_{\hat{б}} \hat{ф} |^{2} - \hat{г} | \hat{ф} |^{4} + \frac{1}{2 π} ϵ^{α β γ} {\hat{б}}_{α} \partial_{β} Б_{γ}

$|D_{B}\phi|^{2}-g|\phi|^{4}\longleftrightarrow\frac{-1}{4e^{2}}\hat{f}_{\mu\nu}\hat{f}^{\mu\nu}+|D_{\hat{b}}\hat{\phi}|^{2}-\hat{g}|\hat{\phi}|^{4}+\frac{1}{2\pi}\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\hat{b}_{\alpha}\partial_{\beta}B_{\gamma}$

двойственны и текут в неподвижную точку Вильсона-Фишера в ИК, где $\hat{f}_{\mu\nu}=\partial_{\mu}\hat{b}_{\nu}-\partial_{\nu}\hat{b}_{\mu}$ . Классические массовые размеры $[ \phi ]=[ \hat{\phi} ]=1/2$ , $[B]=[ \hat{b} ]=1$ , $[g]=[ \hat{g} ]=1$ , и $[e]=1/2$ . В пределе IR я ожидаю, что $e\rightarrow\infty$ и $g,\hat{g}\rightarrow\infty$ , поэтому я могу опустить кинетический член $\hat{b}$ поле $d\hat{b}\wedge\ast d\hat{b}$ , и теории становятся сильно связанными.

Однако из этой бакалаврской диссертации « Функциональная ренормализационная группа для скалярных теорий поля» Артура Верейкена точная $\beta$ -функция реального $\phi^{4}$ скаляр вычисляется с помощью точного уравнения потока РГ Веттериха, которое широко используется в сообществе квантовой гравитации.

Он показывает, что теория

С "=" \int д^{Д} Икс {\frac{1}{2} ф (Икс) (- \partial^{2} + м^{2}) ф (Икс) + \frac{λ}{4!} ф (Икс)^{4}}

$S=\int d^{D}x \left\{\frac{1}{2}\phi(x)\left(-\partial^{2}+m^{2}\right)\phi(x)+\frac{\lambda}{4!}\phi(x)^{4}\right\}$

\equiv \int д^{Д} Икс {\frac{1}{2} ф (Икс) (- Z_{Λ} \partial^{2} + Λ^{2} {\tilde{м}}_{Λ}^{2}) ф (Икс) + \frac{Λ^{4 - Д}}{4!} λ_{Λ} ф (Икс)^{4}}

$\equiv\int d^{D}x\left\{\frac{1}{2}\phi(x)\left(-Z_{\Lambda}\partial^{2}+\Lambda^{2}\tilde{m}_{\Lambda}^{2}\right)\phi(x)+\frac{\Lambda^{4-D}}{4!}\lambda_{\Lambda}\phi(x)^{4}\right\}$

имеет фиксированную точку Уилсона-Фишера в

Z_{*} "=" 1

$Z_{\ast}=1$

{\tilde{м}}_{*} "=" \frac{Д - 4}{16 - Д}

$\tilde{m}_{\ast}=\frac{D-4}{16-D}$

{\tilde{λ}}_{*} "=" \frac{9 \cdot 2^{Д + 5} π^{Д / 2} Г (Д / 2 + 1) (4 - Д)}{(16 - Д)^{3}}

$\tilde{\lambda}_{\ast}=\frac{9\cdot 2^{D+5}\pi^{D/2}\Gamma(D/2+1)(4-D)}{(16-D)^{3}}$

В D = 2 + 1 неподвижная точка Уилсона-Фишера имеет конечную связь с отрицательным квадратом массы $-1/13$ , и поэтому имеет спонтанное нарушение симметрии.

Однако в статье Натана Зайберга, Т. Сентила, Чонга Ванга и Эдварда Виттена ясно сказано, что неподвижная точка Уилсона-Фишера в 2+1 измерениях не имеет массы.

Я что-то здесь неправильно понимаю?

Ответы (1)

Фиксированная точка Уилсона-Фишера в измерениях 2+1

TempAccount2020 · Answer 1

Это разница в языке, а не в физике. КТП в критической точке по определению безмассовы: двухточечные корреляционные функции соответствующим образом перенормированных полей затухают по степенному закону в пространстве положений, что в импульсном пространстве соответствует пропагаторам вида

Π (п) "=" \frac{с}{(п^{2})^{1 + γ}}

$\Pi(p) = \frac{c}{(p^2)^{1+\gamma}}$ для некоторого числа

γ

$\gamma$ . Вышеупомянутая функция не имеет полюсов на конечных

p^{2}

$p^2$ , поэтому теория безмассовая.

Вторая формула, которую вы обсуждаете, вычисляет нечто совершенно иное, а именно, какие контртермины вам нужно добавить к $\phi^4$ Лагранжиан течь до критической точки. Массовый термин

Λ^{2} м_{Λ}^{2} ф^{2}

$\Lambda^2 m_{\Lambda}^2 \phi^2$ это просто голая связь, УФ-параметр теории. Если вы действительно вычислите корреляционные функции в теории, вы обнаружите, что разница масс равна нулю, а не

O (m_{Λ})

$O(m_\Lambda)$ .

Но критическая точка, вычисленная во второй статье, показывает, что она имеет отрицательный квадрат массы. Я смущен.
@NewStudent: То, что вы называете отрицательным квадратом массы, то есть коэффициент $\phi^2$ в лагранжиане не является истинной массой. Именно это пытался объяснить TempAccount2020.
Я полностью согласен с @AbdelmalekAbdesselam. В гауссовой КТП $m^2$ связь в лагранжиане оказывается физической массой, но во взаимодействующей теории это просто неправильно — масса перенормируется из-за взаимодействий. В этом весь смысл вычисления циклических диаграмм. Я уверен, что статья в стиле Веттериха, которую вы цитируете, имеет обширный вывод ценности $\tilde{m}_\Lambda$ , и этот вывод покажет, что это правильный выбор для получения безмассовой физики.
Насколько я понимаю из потока РГ, интегрирование высокочастотных мод приводит к квантовым поправкам к голым связям. При определенном масштабе энергии (критической точке) связи фиксируются. Это точка, в которой бета-функция равна нулю. Из второй статьи неподвижная точка Уилсона-Фишера имеет спонтанное нарушение симметрии. Я что-то неправильно понимаю? Не могли бы вы уточнить?

Фиксированная точка Уилсона-Фишера в измерениях 2+1

Либертарианский феодал-бот

Ответы (1)

TempAccount2020

Либертарианский феодал-бот

Абдельмалек Абдесселам

TempAccount2020

Либертарианский феодал-бот

Существует ли блочная схема спиновой ренормгруппы, которая сохраняет двойственность Крамерса-Ванье?

Нерелевантность нерелевантных связей в Вильсоновской РГ

Производные колебаний по конденсату

Ренормализационная группа для неравновесности

Всегда ли критические показатели ниже и выше критической точки одинаковы?

Быстрый и медленный режимы, а также исчезновение некоторых диаграмм при перенормировке

Значение аппроксимации cos(ϕ)=ϕ22e−12⟨ϕ2⟩cos⁡(ϕ)=ϕ22e−12⟨ϕ2⟩\cos(\phi)=\frac{\phi^2}{2}\mathrm{e}^ {-\frac{1}{2}\langle{\phi^2}\rangle} в теории поля?

Почему мы ожидаем, что наши теории не будут зависеть от предельных значений?

Неперенормируемая ϕ6−ϕ6−\phi^6-теория как эффективная теория поля

Перенормировка ИК и УФ расходимостей