Существует ли блочная схема спиновой ренормгруппы, которая сохраняет двойственность Крамерса-Ванье?

Блочная спиновая ренормгруппа (РГ) (или РГ реального пространства) — это подход к изучению моделей статистической механики спинов на решетке. В частности, меня интересует двумерная модель квадратной решетки с локальными степенями свободы (т. е. спинами), являющимися элементами$g_i$в конечной абелевой группе$g_i\in G$, а статистическая сумма имеет следующий вид

$$\begin{split}Z&=\sum_{[g_i\in G]}e^{-S[g_i]},\\S[g_i]&=-\sum_{\langle ij\rangle}K(g_i^{-1}g_j),\end{split}$$

где$K(g)$является подходящей групповой функцией ($K:G\to\mathbb{R}$), чтобы оштрафовать элементы группы, которые отличаются от идентичности. Блочный спин RG разбивает решетку на маленькие блоки (помеченные$I,J$) и переписать действие в терминах спина блока$g_I\sim\sum_{i\in I}g_i$(как сопоставить сумму обратно с элементом$g_I\in G$зависит от схемы РГ), так что статистическая сумма может быть переписана как

$$Z=\sum_{[g_I\in G]}\sum_{[g_i\in G]}\delta\big[g_I\sim\textstyle{\sum}_{i\in I}g_i\big]e^{-S[g_i]}=\sum_{[g_I\in G]}e^{-S'[g_I]},$$

где новое действие принимает форму

$$S'[g_i]=-\sum_{\langle IJ\rangle}K'(g_I^{-1}g_J)+\cdots.$$

Опуская члены более высокого порядка, сгенерированные в рамках РГ, процедуру РГ можно рассматривать как функциональную карту$\mathcal{R}$который принимает групповую функцию$K(g)$к$K'(g)$.

С другой стороны, такая модель конечной абелевой группы$G$на квадратной решетке допускает двойственность Крамерса-Ванье. Ключевым шагом двойственности является преобразование Фурье (на абелевой группе$G$)

$$e^{-\tilde{K}(\tilde{g})}=\sum_{g\in G}e^{-K(g)}\;\chi(g,\tilde{g}),$$

где$\tilde{g}$представляет собой представление$G$, и$\chi(g,\tilde{g})$это персонаж. В силу того, что представление конечной абелевой группы$G$также образует конечную абелеву группу$\tilde{G}$, и$\tilde{G}$изоморфен$G$(имеется в виду, что двойственная группа$\tilde{G}$такой же как$G$). В сочетании с тем фактом, что двойственная решетка квадратной решетки по-прежнему является квадратной решеткой, двойственность Крамерса-Ванье можно рассматривать как биективное функциональное отображение$\mathcal{D}$это карты$K(g)$к$\tilde{K}(g)$(и наоборот).

Однако для меня не очевидно, что спин блока RG сохраняет двойственность Крамерса-Ваннье. Я думаю, что в целом преобразование RG$\mathcal{R}$не гарантируется коммутация с преобразованием двойственности$\mathcal{D}$, или скажем, что следующая диаграмма вообще не коммутирует:

$$\begin{array}{lllllll} K & \overset{\mathcal{R}}{\to} & K' & \overset{\mathcal{R}}{\to} & K'' & \overset{\mathcal{R}}{\to} \cdots\\ \updownarrow\tiny\mathcal{D} & & \updownarrow\tiny\mathcal{D} & & \updownarrow\tiny\mathcal{D} & \\ \tilde{K} & \overset{\mathcal{R}}{\to} & \tilde{K}' & \overset{\mathcal{R}}{\to} & \tilde{K}'' & \overset{\mathcal{R}}{\to} \cdots \end{array}$$

Итак, вопрос в том, как спроектировать схему блочного спина RG, ​​чтобы сделать приведенную выше диаграмму коммутирующей? Существует ли систематическая конструкция РГ-схемы блочного спина, которая сохраняет двойственность Крамерса-Ваннье?