Разница между правильными и сопутствующими фреймами

Давайте ограничимся случаем специальной теории относительности, основываясь на комментариях под исходным постом.

Позволять$x^\mu(t) = (t, \mathbf x(t))$— путь времяподобной частицы, измеренный в лабораторной системе отсчета. В некоторой инерциальной системе отсчета. Предположим, что в какой-то момент$t_0$, скорость частицы в этой системе отсчета равна нулю;

$$\frac{d \mathbf x}{dt}(t_0) = 0$$ Тогда эта инерциальная система отсчета по определению движется вместе с частицей в момент времени $t_0$. Позволив себе небольшое злоупотребление обозначениями, предположим, что $t(\tau)$дает инерционное время как функцию собственного времени. Тогда у нас есть $$\frac{d}{d\tau}\mathbf x(t(\tau)) = \frac{d\mathbf x}{dt}(t(\tau))\frac{dt}{d\tau}(\tau)$$ и $$\frac{d^2}{d\tau^2}\mathbf x(t(\tau)) = \frac{d^2\mathbf x}{dt^2}(t(\tau))\left[\frac{dt}{d\tau}(\tau)\right]^2 +\frac{d\mathbf x}{dt}(t(\tau))\frac{d^2t}{d\tau^2}(\tau)$$ оценить это в $\tau_0$удовлетворяющий $t(\tau_0) = t_0$; другими словами $\tau_0$это просто правильное время, в которое кадры сопутствуют. Второй член обращается в нуль по сопутствующему предположению, кроме того, множитель $\frac{dt}{d\tau}(\tau_0)$просто равно $1$потому что вспомните это $dt = \gamma d\tau$и поскольку частица на мгновение покоится относительно сопутствующей системы отсчета, $\gamma = 1$в тот момент. Таким образом, мы получаем $$\frac{d^2}{d\tau^2}\mathbf x(t(\tau))\Big|_{\tau = \tau_0} = \frac{d^2\mathbf x}{dt^2}(t_0)$$ Левая часть — это собственное ускорение в «сопутствующий момент» частицы по определению. Правая часть — это ускорение, измеренное движущимся наблюдателем, так что это равенство, которое вы хотели.