Как рассчитать вероятность того, что осциллятор находится в определенном состоянии, используя статистическую сумму?

Ваш расчет выглядит хорошо для меня (технически ваша статистическая сумма должна иметь дополнительный коэффициент$e^{-\frac 12 \beta\hbar\omega}$, но это неважно, так как оно сокращается во всех наблюдаемых).

Редактировать: Как и в комментарии abcXYZ, вероятность нахождения системы в состоянии, соответствующем любому нечетному значению$n$является

$$P(n~\text{is odd}) = (1-x)(x + x^3 + \ldots + x^{2k-1} + \ldots) = \frac{(1-x)x}{1-x^2} = \frac{x}{1+x}$$ где $x = e^{-\beta\hbar\omega}$. Чтобы дать некоторую уверенность в том, что это действительно правильный ответ, мы можем проверить некоторые ограничения:

• В$T=0$, мы ожидаем, что осциллятор будет в основном состоянии, и поэтому$n$не может быть нечетным.$T=0$соответствует$\beta = \infty$, и поэтому$x=0$, что действительно дает$P=0$в нашей формуле.
• Как$T \to \infty$, мы ожидаем, что осциллятор распространится по всем собственным энергетическим состояниям, и, следовательно, вероятности$n$быть нечетным или даже быть равным. И действительно,$T \to \infty$соответствует$x \to 1$, для которого наша формула дает$P \to \frac 12$.

Это хорошая привычка выполнять такие простые проверки любых формул, которые вы выводите.

Учитывая вашу функцию распределения, вы можете использовать эвристический подход, как в другом ответе, но если вы хотите его вычислить, вам нужно построить оператор плотности$\rho$для вашей системы, а затем найти вероятности с помощью

$$\mathcal{P}_n = Tr(\rho P_n)$$

где$P_n$является проекционным оператором$n^{th}$чистое состояние.

Это очень похожий вопрос, на который я недавно отвечал. Вот хорошее введение в квантовую статистическую физику, в котором подробно описаны свойства$\rho$. На последней странице этой статьи показано, как аналитически вывести статистическую сумму.