Большая каноническая статистическая сумма гипотетических частиц

Мне нужно вычислить большую каноническую статистическую сумму системы гипотетических частиц, в которой каждое квантовое состояние одной частицы может быть занято до 3 частиц.

Очевидно, это своего рода шутка, относящаяся к фермионам (максимум 2 частицы на состояние) и бозонам (неограниченное количество частиц на состояние). Предполагается, что эти гипотетические частицы не взаимодействуют друг с другом.

Поэтому я попытался рассматривать каждое квантовое состояние одной частицы как отдельный великий канонический ансамбль, следуя подходу, описанному в https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi%E2%80%93Dirac_statistics .

При химическом потенциале$\mu$и температура$T$, где энергия состояния$\epsilon$, Я получил:

$$\begin{equation} \mathcal{Z} = \sum_{n=0}^{3}{\exp{\left(\frac{n(\mu-\epsilon)}{k_B T}\right)} = \frac{1-\exp{\left(4\frac{\mu-\epsilon}{k_B T}\right)}}{1-\exp{\left(\frac{\mu-\epsilon}{k_B T}\right)}}} \end{equation}$$ где я использовал конечную геометрическую прогрессию.

Теперь я также должен определить средний номер занятости$\langle n_i \rangle$для состояния с энергией$\epsilon_i$при температуре$T=0$.

В общем, у нас есть

$$\begin{equation} \langle n_i \rangle = k_B T \frac{\partial \ln{\mathcal{Z}}}{\partial \mu} \end{equation}$$

что дает мне$\langle n_i \rangle =2-\frac{1}{1+\exp(x)}+\tanh(x)$где я определил$x=\frac{\mu-\epsilon_i}{k_B T}$. (Я использовал Wolfram Mathematica для упрощения алгебры.)

Ясно в$T=0$это выражение плохо определено, но, взяв предел$T\rightarrow 0$Мы видим, что$\langle n_i\rangle=0$если$\epsilon_i>\mu$,$\langle n_i\rangle=3/2$если$\epsilon_i=\mu$и$\langle n_i\rangle=3$если$\epsilon_i<\mu$, правильный?