RC-цепь с двумя конденсаторами, не включенными ни параллельно, ни последовательно

Question

RC-цепь с двумя конденсаторами, не включенными ни параллельно, ни последовательно

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

Фон

В нашем курсе мы рассмотрели все, что связано со схемой RC-RL-RLC, однако все вопросы были основаны на том, что у вас либо параллельное, либо последовательное соединение.

Я еще не проходил никаких курсов, связанных с дифференциальными уравнениями, однако я немного узнал об этом.

Я не брал Лапласа, вместо этого механализ, узловой анализ и т.д. Что касается того, что мы рассмотрели в отношении RC, RL и RLC, мы взяли случаи, когда у нас есть естественная или ступенчатая характеристика для этих цепей, но они дают нам решения дифференциальных уравнений, связанных с этими цепями, и мы просто используем решения для нахождения неизвестных напряжений и токов. Например, общее уравнение, которое может описать поведение цепей RL / C, выглядит следующим образом.

Икс (т) "=" Икс (\infty) + Икс (т_{0}) - Икс (\infty) \cdot е^{(- \frac{(т - т_{0})}{д})}, где д постоянная времени

$\mathrm{x(t)} = \mathrm{x(\infty)} + \mathrm{x(t_0)}-\mathrm{x(\infty)} \cdot e^{\left(\textstyle -\frac{(t-t_0)}{q}\right)} \text{, where } \mathrm{q} \text{ is the time constant}$

Они учат нас случаям, в которых в конечном итоге вы можете упростить свои схемы, чтобы иметь одну из четырех известных форм, то есть один резистор и один конденсатор/индуктивность, или параллельную/последовательную комбинацию одного резистора, одного конденсатора и одной катушки индуктивности.

Проблема

В приведенной ниже схеме мой инструктор предложил мне найти решение.

При условии $\mathrm{V_1(0)} = 3 \,\mathrm{V}$ и $\mathrm{V_2(0)} = 1 \,\mathrm{V}$ .

Как рассчитать $\mathrm{V_2(t)}$ для $\mathrm{t} \ge 0$ ?

Подход

Я попытался написать KVL и KCL, а затем попытался найти $\mathrm{V_1}$ & $\mathrm{V_2}$ .

Уравнения, которые я знаю, выглядят следующим образом:

$\mathrm{I_c(t)} = C \frac{d\mathrm{V}}{dt} \implies \mathrm{V} = \frac{1}{C}\int\mathrm{I_c(t)}\,\mathrm{dt} + \mathrm{V(t_0)}$

Переходная характеристика начинается, когда напряжение подается на $\mathrm{t} = 0$ .
То, что я пробовал, это $\frac{d\mathrm{V_2}}{dt} + \mathrm{V_2}-\mathrm{V_1} = 0$ и я застрял здесь.

К сожалению, я провел больше суток без какого-либо заметного прогресса в вопросе.
Итак, я ищу любые подсказки или подсказки, которые могут поставить меня на правильный путь.
Заранее спасибо.

придурок

Если у вас нет курсовой работы по diff-eq, это означает, что нет занятий по интегралам, занятий по Лапласу и... ну... Гм. Почему вас просят «придумать решение»? Вы учились без каких-либо курсов? (Сработало для меня. Возможно, для вас.) Возможно, вы могли бы объяснить, что вы знаете, поскольку вы говорите, что рассмотрели RC, RL и RLC.

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

Я не брал Лапласа, вместо этого механализ, узловой анализ и т.д. Что касается того, что мы рассмотрели в отношении RC, RL и RLC, мы взяли случаи, когда у нас есть естественная или ступенчатая характеристика для этих цепей, но они дают нам решения дифференциальных уравнений, связанных с этими цепями, и мы просто используем решения для нахождения неизвестных напряжений и токов. Например, общее уравнение, которое может описать поведение цепей RL/C, выглядит следующим образом: x(t) = x(бесконечность) +(x(t0)-x(бесконечность)*e^-(t-t0)/q , q постоянная времени

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

Таким образом, они учат нас случаям, в которых в конечном итоге вы можете упростить свои схемы, чтобы иметь одну из четырех известных форм, то есть один резистор и один конденсатор/катушка, или параллельную/последовательную комбинацию одного резистора, одного конденсатора и одной катушки индуктивности.

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

Известные мне уравнения таковы: ic = c dv/dt, следовательно, v = (1/c)∫(i)dt + v(t(o)).

Тим Вескотт

(Заменяя удаленный комментарий, так как я не могу редактировать, и я получил свою математику задом наперёд): Я собираюсь начать с обучения вас части схемы. Сделай это, а потом я или кто-то другой научу тебя дифференциальным уравнениям. Напряжение на конденсаторе равно

i = C \frac{d v}{d t}

$i=C\frac{dv}{dt}$ -- так что это очень похоже на уравнение резистора, за исключением того, что

\frac{d v}{d t}

$\frac{dv}{dt}$ там. Затем помните из исчисления, что

\frac{d}{d t} (v_{1} + v_{2}) = \frac{d v_{1}}{d t} + \frac{d v_{2}}{d t}

$\frac{d}{dt}(v_1+v_2)=\frac{d v_1}{dt} + \frac{d v_2}{dt}$ . Возможно, вам придется немного пораскинуть мозгами, но как вы думаете, сможете ли вы написать уравнения сетки или узла для схемы?

Тим Вескотт

У вас должна получиться система дифференциальных уравнений 1-го порядка, которую нужно будет преобразовать в дифференциальное уравнение 2-го порядка и решить или решить как есть. Довольно сложно просить кого-то решить их, не пройдя курс diff-eq, но я подозреваю, что это можно сделать.

придурок

@ABDELRAHMAN То, что я написал, выходит за рамки того, что вы можете применить? Если это так, направьте меня немного, чтобы я мог помочь лучше.

Ответы (2)

RC-цепь с двумя конденсаторами, не включенными ни параллельно, ни последовательно

Если у вас нет курсовой работы по diff-eq, это означает, что нет занятий по интегралам, занятий по Лапласу и... ну... Гм. Почему вас просят «придумать решение»? Вы учились без каких-либо курсов? (Сработало для меня. Возможно, для вас.) Возможно, вы могли бы объяснить, что вы знаете, поскольку вы говорите, что рассмотрели RC, RL и RLC.
Я не брал Лапласа, вместо этого механализ, узловой анализ и т.д. Что касается того, что мы рассмотрели в отношении RC, RL и RLC, мы взяли случаи, когда у нас есть естественная или ступенчатая характеристика для этих цепей, но они дают нам решения дифференциальных уравнений, связанных с этими цепями, и мы просто используем решения для нахождения неизвестных напряжений и токов. Например, общее уравнение, которое может описать поведение цепей RL/C, выглядит следующим образом: x(t) = x(бесконечность) +(x(t0)-x(бесконечность)*e^-(t-t0)/q , q постоянная времени
Таким образом, они учат нас случаям, в которых в конечном итоге вы можете упростить свои схемы, чтобы иметь одну из четырех известных форм, то есть один резистор и один конденсатор/катушка, или параллельную/последовательную комбинацию одного резистора, одного конденсатора и одной катушки индуктивности.
Известные мне уравнения таковы: ic = c dv/dt, следовательно, v = (1/c)∫(i)dt + v(t(o)).
(Заменяя удаленный комментарий, так как я не могу редактировать, и я получил свою математику задом наперёд): Я собираюсь начать с обучения вас части схемы. Сделай это, а потом я или кто-то другой научу тебя дифференциальным уравнениям. Напряжение на конденсаторе равно $i=C\frac{dv}{dt}$ -- так что это очень похоже на уравнение резистора, за исключением того, что $\frac{dv}{dt}$ там. Затем помните из исчисления, что $\frac{d}{dt}(v_1+v_2)=\frac{d v_1}{dt} + \frac{d v_2}{dt}$ . Возможно, вам придется немного пораскинуть мозгами, но как вы думаете, сможете ли вы написать уравнения сетки или узла для схемы?
У вас должна получиться система дифференциальных уравнений 1-го порядка, которую нужно будет преобразовать в дифференциальное уравнение 2-го порядка и решить или решить как есть. Довольно сложно просить кого-то решить их, не пройдя курс diff-eq, но я подозреваю, что это можно сделать.
@ABDELRAHMAN То, что я написал, выходит за рамки того, что вы можете применить? Если это так, направьте меня немного, чтобы я мог помочь лучше.

придурок · Answer 1

Возможно, это может помочь:

\begin{aligned} (1а) & \frac{В_{1}}{р_{1}} + \frac{В_{1}}{р_{2}} + С_{1} \cdot \frac{г В_{1}}{г т} & "=" \frac{В_{с}}{р_{1}} + \frac{В_{2}}{р_{2}} \\ (2а) & \frac{В_{2}}{р_{2}} + С_{2} \cdot \frac{г В_{2}}{г т} & "=" \frac{В_{1}}{р_{2}} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{V_1}{R_1}+\frac{V_1}{R_2}+C_1\cdot\frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}&=\frac{V_s}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}\tag{1a}\\\\ \frac{V_2}{R_2}+C_2\cdot\frac{\text{d}\,V_2}{\text{d}\,t}&=\frac{V_1}{R_2}\tag{2a} \end{align*}$

\begin{aligned} ∴ линейная система двух дифференциальных уравнений 1-го порядка: \\ \frac{г В_{1}}{г т} & "=" \frac{1}{С_{1}} \cdot (\frac{В_{с} - В_{1}}{р_{1}} + \frac{В_{2} - В_{1}}{р_{2}}) \\ (1б) & "=" [- \frac{р_{1} + р_{2}}{С_{1}}] \cdot В_{1} + [\frac{р_{2}}{С_{1}}] \cdot В_{2} + [В_{с} \cdot \frac{р_{2}}{С_{1}}] \\ \frac{г В_{2}}{г т} & "=" \frac{1}{С_{2}} \cdot \frac{В_{1} - В_{2}}{р_{2}} \\ (2б) & "=" [\frac{1}{р_{2} \cdot С_{2}}] \cdot В_{1} + [\frac{- 1}{р_{2} \cdot С_{2}}] \cdot В_{2} + [0] \end{aligned}

$\begin{align*} &\therefore\quad\text{the linear system of two 1st order diff-eqs is:}\\\\ \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}&=\frac{1}{C_1}\cdot\left(\frac{V_s-V_1}{R_1}+\frac{V_2-V_1}{R_2}\right)\\\\ &=\left[-\frac{R_1+R_2}{C_1}\right]\cdot V_1+\left[\frac{R_2}{C_1}\right]\cdot V_2+\left[V_s\cdot\frac{R_2}{C_1}\right]\tag{1b}\\\\ \frac{\text{d}\,V_2}{\text{d}\,t}&=\frac{1}{C_2}\cdot\frac{V_1-V_2}{R_2}\\\\ &=\left[\frac{1}{R_2\cdot C_2}\right]\cdot V_1 +\left[\frac{-1}{R_2\cdot C_2}\right]\cdot V_2+\left[0\right]\tag{2b}\end{align*}$

\begin{aligned} ∴ где а_{11} "=" - \frac{р_{1} + р_{2}}{С_{1}}, а_{12} "=" \frac{р_{2}}{С_{1}}, б_{1} "=" В_{с} \cdot \frac{р_{2}}{С_{1}} \\ а_{21} "=" - \frac{1}{р_{2} \cdot С_{2}}, а_{22} "=" \frac{- 1}{р_{2} \cdot С_{2}}, б_{2} "=" 0, \\ затем, \\ (1с) & \frac{г В_{1}}{г т} & "=" а_{11} \cdot В_{1} + а_{12} \cdot В_{2} + б_{1} \\ (2с) & \frac{г В_{2}}{г т} & "=" а_{21} \cdot В_{1} + а_{22} \cdot В_{2} + б_{2} \end{aligned}

$\begin{align*} &\therefore\quad\text{where }\:a_{11}=-\frac{R_1+R_2}{C_1}, a_{12}=\frac{R_2}{C_1}, b_1=V_s\cdot\frac{R_2}{C_1}\\\\ &\quad\quad\quad\quad\quad\: a_{21}=-\frac{1}{R_2\cdot C_2}, a_{22}=\frac{-1}{R_2\cdot C_2}, b_2=0, \\&\quad\quad\text{then,}\\\\ \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}&=a_{11}\cdot V_1+a_{12}\cdot V_2+b_1\tag{1c}\\\\ \frac{\text{d}\,V_2}{\text{d}\,t}&=a_{21}\cdot V_1+a_{22}\cdot V_2+b_2\tag{2c} \end{align*}$

Вы можете использовать любой метод, который вам нравится. Но на ум приходят метод подстановки и прямые методы «угадай и проверь». В любом случае вам нужны однородная и устойчивая части.

Для одного возможного примера, продолжая с однородной частью:

\begin{aligned} \frac{г^{2} В_{1}}{г т^{2}} & "=" а_{11} \cdot \frac{г В_{1}}{г т} + а_{12} \cdot \frac{г В_{2}}{г т} \\ "=" а_{11} \cdot \frac{г В_{1}}{г т} + а_{12} \cdot (а_{21} \cdot В_{1} + а_{22} \cdot В_{2}) \\ из (1c) выше (без учета б_{2}), В_{2} & "=" \frac{\frac{г В_{1}}{г т} - а_{11} \cdot В_{1}}{а_{12}}, затем, \\ \frac{г^{2} В_{1}}{г т^{2}} & "=" а_{11} \cdot \frac{г В_{1}}{г т} + а_{12} \cdot (а_{21} \cdot В_{1} + а_{22} \cdot \frac{\frac{г В_{1}}{г т} - а_{11} \cdot В_{1}}{а_{12}}) \\ "=" (а_{11} + а_{22}) \cdot \frac{г В_{1}}{г т} + (а_{11} \cdot а_{22} - а_{12} \cdot а_{21}) \cdot В_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{\text{d}^2\,V_1}{\text{d}\,t^2}&=a_{11}\cdot \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}+a_{12}\cdot\frac{\text{d}\,V_2}{\text{d}\,t}\\\\&=a_{11}\cdot \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}+a_{12}\cdot\left(a_{21}\cdot V_1+a_{22}\cdot V_2\right)\\\\\text{from (1c) above (ignoring }b_2\text{)}, V_2&=\frac{\frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}-a_{11}\cdot V_1}{a_{12}}, \text{then,}\\\\ \frac{\text{d}^2\,V_1}{\text{d}\,t^2}&=a_{11}\cdot \frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}+a_{12}\cdot\left(a_{21}\cdot V_1+a_{22}\cdot \frac{\frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}-a_{11}\cdot V_1}{a_{12}}\right)\\\\&=\left(a_{11}+a_{22}\right)\cdot\frac{\text{d}\,V_1}{\text{d}\,t}+\left(a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{21}\right)\cdot V_1 \end{align*}$

Выше приведено diff-eq 2-го порядка, в $V_1$ , которую теперь можно решить с помощью суммы двух экспоненциальных выражений. Имея это в руках, остальное не сложно.

Уравнения не совпадают или это только моя мысль?
@ Unknown123 Не знаю. Я просто немного по другому отредактировал. Это как-то помогает?
Неважно, возможно, это просто мой удобный стиль выравнивания по левому краю, если есть несколько разных уравнений. Кроме того, мне любопытно, по какой причине за это проголосовали.
@Unknown Кому-то здесь не нравится, что я слишком много пишу. Вот и все. В частности, есть два или три случая, когда мы просто не ладим по этому поводу, хотя это могут быть и другие. Это не проблема. Я пишу точно, и если нет конкретной критики, это просто означает, что я прав, и они это знают и не могут ничего сказать, кроме как пожаловаться, проголосовав против. Я совсем не против. Я на самом деле получаю от этого странное удовольствие, потому что их бесит их бессилие контролировать меня по поводу этих различий в политике или говорить что-либо, подрывающее то, что я написал. Мне нравится помогать, и я не остановлюсь.
@SimonMarcoux Спасибо за добрый комментарий. Это проходит долгий путь, чтобы сделать время стоящим. :)

АналоговыйДетский · Answer 2

В вашем вопросе отсутствуют некоторые важные детали, так что это догадки. Поскольку это школьная работа, этот ответ намеренно расплывчатый.

ЕСЛИ Vs является источником постоянного тока, то есть два возможных ответа: переходное напряжение (когда Vs приложено и конденсаторы заряжаются) и установившееся напряжение (после полной зарядки конденсаторов). Стационарные решения довольно просты.

Переходное решение для V1 и V2 (я предполагаю) представляет собой уравнение, описывающее изменение напряжения во времени. Вы знаете уравнение изменения напряжения конденсатора при его зарядке от источника постоянного напряжения? Если да, вы можете использовать это, чтобы описать V2 как функцию V1. Затем снова опишите V1 как функцию 10 В. Затем используйте уравнение для V1 в качестве источника напряжения в уравнении для V2.

Требуется переходная характеристика, когда напряжение подается при t = 0. То, что я пробовал, выглядит следующим образом: dv2/dt +v2-v1 = 0, и я застрял здесь. Спасибо за внимание.

RC-цепь с двумя конденсаторами, не включенными ни параллельно, ни последовательно

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

Фон

Проблема

Подход

придурок

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

Тим Вескотт

Тим Вескотт

придурок

Ответы (2)

придурок

Неизвестно123

придурок

Неизвестно123

придурок

Саймон Марку

придурок

АналоговыйДетский

АБДЕЛЬРАХМАН СКАЗАЛ АБДЕЛЬРАХМАН

Определить номинальную мощность резистора по техпаспорту?

Зарядка конденсатора RC

Уравнение (математическая функция) пилообразного сигнала в зависимости от пилообразного сигнала

Каков правильный способ решения этой цепи постоянного тока RLC?

Делитель напряжения с двумя источниками тока

Ток через каждый резистор

Понимание этой схемы со связью по переменному току

Почему напряжение конденсатора равно напряжению подключенной к нему батареи?

Каковы последствия использования конденсатора большей емкости?

Расчет схемы Тевенина с использованием KCL или анализа узлов