Ток через каждый резистор

Расширение ответа Олина для тех, кто хочет увидеть, какое значение имеет искусство.

^{смоделируйте эту схему - схема, созданная с помощью CircuitLab}

Когда вы видите это таким образом, довольно легко сказать, или должно быть, на каком напряжении находятся эти узлы в середине. После этого это простой материал Закона Ома.

Вы также должны увидеть, что узлы, которые я пометил как$VT$имеют то же напряжение, что и те, которые я отметил$VB$.

Так как нет напряжения на$R6$и$R9$,

$I6 = I9 = 0A$.

Из-за этого,$R6$и$R9$можно рассматривать как шорты, поэтому$R4$эффективно параллельно с$R2$($R24 = 50R$). Что значит$VT$является$50/150$или$1/3$из$12.5V$выше средней точки, т.

$VT = 12.5 + 12.5/3 = 16.667V$

Сходным образом$R8$эффективно параллельно с$R10$, изготовление

$VB = 2/3 * 12.5V = 8.333V$.

Так,

$I1 = I3 = I12 = I14 = 8.333/100 = 83.33mA$ $I2 = I4 = I5 = I7 = I8 = I13 = I11 = I10 = I1/2 = 41.667mA$

$Io = I1 + I2 = 166.67mA$

Головоломка на самом деле восхитительна своей симметрией. Конечно, это выпадает только так, потому что все номиналы резисторов идентичны. Если бы это было не так, потребовался бы ваш первоначальный метод или какой-либо другой метод анализа.

Первым шагом в решении подобных проблем является перерисовка схемы в более логичном виде. Основным компонентом этих проблем является преднамеренно запутанная схема. Часто проблему становится легче решить и, конечно же, легче увидеть, когда ее схематично нарисована логично.

Поместите блок питания слева. Нарисуйте + мощность в виде линии сверху, а - мощность в виде линии внизу схемы. Теперь нарисуйте любые очевидные + к - резисторы или цепочки резисторов вертикально. Более высокие напряжения идут выше на странице, чем более низкие напряжения. Покажите любой резистор, подключенный непосредственно к + питания вертикально, идущий вниз от + горизонтальной линии. Точно так же любой резистор, подключенный непосредственно к -, поднимается вертикально от - линии. Постарайтесь визуально максимально упростить остальные резисторы.

Мы сможем разобраться в вашей реальной проблеме после того, как вы опубликуете деобфусцированную схему, как описано выше.

Вы ошиблись с уравнениями.

Вы показали

$I_3=I_5+I_9$

но это должно читаться

$I_3=I_5+I_7$

Ключевым принципом этой задачи является симметрия .

[Другой ключевой принцип, который я продемонстрировал, — не лениться, решая проблему, которая кажется легкой! Раньше я был неряшлив и пытался сделать это СЛИШКОМ простым. Кажется, я исправил ошибки.]

Далее я бы сказал, что цель этой задачи как раз и состоит в том, чтобы заставить вас ясно представить схему, а не пытаться решить ее математически. Мне грустно слышать, что вы не научились рисовать четкие принципиальные схемы в школе, потому что это, возможно, самый полезный практический навык в решении этой проблемы. (Когда я увидел ваш вопрос и решил попробовать решить его для себя, прежде чем читать ответы, я явно перерисовал его первым делом.)

Другие уже дали некоторую полезную информацию о решении, но я хотел бы попытаться дать вам свое интуитивное представление о том, как к нему подойти.

Когда я впервые увидел диаграмму, я сразу же заподозрил, что она, вероятно, более симметрична, чем кажется. Вы описали это как «проблему средней школы»; иногда школьные упражнения включают в себя черновую работу, но чаще они включают в себя хитрые трюки, которые вы должны заметить. И хотя на рисунке это неясно, довольно легко увидеть, что каждая клемма источника питания подключена ровно к двум резисторам, каждый из которых подключен еще ровно к двум резисторам; и все резисторы в цепи имеют одинаковое значение.

Симметрия — это важнейший принцип, о котором следует помнить при решении всевозможных задач во всех видах классов, а также в рабочем мире. Возможно, вам никогда не придется решать ток, протекающий через сеть резисторов, после окончания учебы, но вы можете удивлять своих коллег всю свою жизнь, делая сложные задачи тривиальными, используя скрытую симметрию. Это часто позволяет вам доказать, что драматические упрощения проблемы возможны с очень небольшими усилиями.

В этом случае, как вы можете видеть на прекрасном рисунке Тревора, цепь резисторов в этой задаче чрезвычайно симметрична. Тревор использует это, чтобы доказать, что напряжение в средних узлах должно быть 12,5 В — понимаете, почему? Потому что, каким бы ни было общее сопротивление между этими узлами и V+/V-, очевидно , что оно ОДИНАКОВО выше и ниже. Тогда легко увидеть, что ток не может течь через резисторы r6 и r9, поскольку, как показал Тревор, напряжения на них равны нулю по симметрии.

Теперь мы можем продолжить использовать лево-правую и верх-низ симметрию всей диаграммы, чтобы увидеть, что напряжения также должны быть одинаковыми во всех точках зеркала слева и справа, и токи должны быть одинаковыми через спаренные резисторы r1-r3-r12-r14, r2-r7-r8-r13 и r4-r5-r10-r11. Уже одно это сводит это к довольно простому набору уравнений для решения.

Но мы можем пойти немного дальше. Имея две точки с одинаковым напряжением, ток, протекающий между ними, не изменится; и если есть провод, по которому не течет ток, его отключение ничего не изменит. Таким образом, мы можем сделать диаграмму еще более симметричной несколькими способами, самый простой из которых следующий: поскольку мы знаем, что ток не течет слева-направо или справа-налево через центр (по симметрии), мы можем отключить r10 из r5-r9-r11. Это сводит задачу к паре параллельных цепей, поэтому вы можете решить одну, а затем применить результат к обеим (и внутри каждой есть параллельные цепочки одинаковых резисторов, где вы можете сделать то же самое снова).