Уравнение (математическая функция) пилообразного сигнала в зависимости от пилообразного сигнала

Я пытался найти уравнение для источника тока, чтобы рассчитать напряжение на конденсаторе через 1 с с момента времени t = 0 с.

Если есть сомнения, просто воспользуйтесь своим старым добрым проверенным симулятором, чтобы привести свой мозг в соответствие с правильным ориентиром. Вот моя попытка использовать микрокап: -

Чуть более пристальный взгляд на изменение формы сигнала напряжения около 0,6 секунды:

Как видите, скорость изменения напряжения пропорциональна изменению тока (согласно приведенному ниже уравнению).

Итак, я пытался найти уравнение для источника тока, чтобы рассчитать напряжение на конденсаторе через 1 с с момента времени t = 0 с.

Не так просто найти уравнение для пилообразного сигнала, потому что он имеет резкие края и разрывы. ИМХО лучше использовать сим.

Я понимаю, что уравнение пилообразного сигнала будет уравнением прямой линии. В этом случае форма пилообразного сигнала похожа на пилообразный сигнал, верно?

Нет, рампа является частью пилообразной формы волны, но это не одно и то же. У пилообразного зуба есть уравнение нарастания, за которым следует уравнение спада с бесконечным наклоном (также известное как разрыв).

Итак, будет ли какая-либо разница в уравнении тока конденсатора между двумя формами волны?

Как всегда (и навсегда) уравнение для конденсатора таково:

Это одно и то же уравнение для всех типов сигналов и амплитуд.

И другой вопрос, почему мы не учитываем частотный член при вычислении интеграла?

Потому что нам не нужно.

Ссылки на математическое определение формы сигнала для пилообразной формы

• Из википедии
• Из Вольфрама
• Из цифровых сигналов Harris .

Они концентрируются на версии Фурье, но я полагаю, что в вики есть формулы для временной формы волны.

Напряжение конденсатора при подаче только источника тока 0,5 А:

Я изменил источник тока с пилообразного сигнала от 0 до 1 ампера на частоте 1 кГц на источник постоянного тока 0,5 ампер. Вы видите, что разница в линейном изменении напряжения на конденсаторе очень мала. Хорошо, если вы ищете мелочи, это может быть важно.

Рампа или пилозуб - это одни и те же звери, названия разные. Математически оба подразумевают использование$kt$как рампа($k$является некоторой константой) и операция по модулю. Практически есть два рампа, засчитывается задний фронт, так как иначе это физически невозможно (ну, это сложнее, потому что нет резких разрывов, а есть очень узкие переходные области, зависящие от генератора, паразитов, прочих неидеальностей и т.д. даже рампы сами по себе могут быть не совсем линейными, например, плоской производной).

С математической стороны, из$0$к$T$есть пандус$kt$, что означает, что вывод будет$kt^2/2$. В конце сигнал падает до нуля, что действует как сброс. Это означает, что на выходе останется последнее значение, и следующее линейное изменение даст то же самое значение.$kt^2/2$но с другими начальными условиями.

С практической стороны (с учетом двух прерывистых рамп) временная шкала делится на$0$к$kT$, и из$kT$к$T$, поэтому вывод для первого раздела будет$kt^2/2$, то последнее значение останется там для следующего участка, интеграл которого будет отрицательной экспонентой, пропорциональной$(1-k)t^2/2$, потому что есть падающий край. Затем будет следующее возрастание с тем же интегралом, но с другими начальными условиями, поэтому на выходе будет ряд восходящей экспоненты + обратной восходящей экспоненты, сшитых по концам.

Если бы вы реализовали это в LTspice в качестве источника поведения, вам понадобится что-то вроде этого (для простоты я оставил 1 Гц вместо 1 кГц):

.param k = 0.8
if
  (
    time < k,
    time**2 / (2 * k),
    if
      (
        time < 1,
        time**2 / (2 * k) - (time - k)**2 / (2 * (1 - k) * k),
        time**2 / (2 * k) - (time - k)**2 / (2 * (1 - k) * k) + (time - 1)**2 / (2 * (k * (1 - k)))
      )
  )

(Надеюсь, я не перепутал скобки). Смоделируйте это по сравнению с треугольной формой волны с помощью$k$время подъема и$10-k$время падения ( PULSE 0 1 0 {k} {1-k} 0 1), и вы получите следующий результат:

Черная кривая — это источник тока с конденсатором, а синяя — поведенческий источник. Обратите внимание, что последняя часть, от времени$1+k$, не совпадает. Это потому, что в приведенном выше коде я остановился на этом моменте, иначе мне пришлось бы продолжать добавлять к выражению (вы можете заметить шаблон). Обратите внимание, что в выводах выше я не использовал$kT^2/2$, что вы получите за интеграцию$\int_0^T{kt\text{d}t}$. Вместо этого я использовал$t$. Это потому, что это непрерывный процесс, а не результат средних значений. Результат с$T$дал бы фиксированное среднее значение; с$t$вы получаете непрерывное выражение времени.

И, как вы можете видеть, если вы сведете задний фронт к нулю, вы получите чисто математический случай. Эффект будет заключаться в том, что не будет второй, перевернутой экспоненты, которая будет заменена «сшитой» экспонентой, для следующего сегмента пилообразной формы.

Редактировать: если неотъемлемая часть звучит нечетко, я имею в виду: «обычная» интеграция из$0$к$T$, но это подразумевает знание заранее, какое значение будет при$T$, пока не настало время$T$. Это также означает, что результаты не будут непрерывными, а будут иметь фиксированное значение, среднее значение за этот период, но здесь это не так:

(где$n$представляет кратность периодов пилообразной формы). Все, что стоит после равенства как для (1), так и для (2), статично, ничто не зависит от времени. Таким образом, интеграл должен быть изменен с$0$к$t$, потому что это форма сигнала в реальном времени. Но поскольку вход является прерывистым (учитывая приведенные выше упрощения), есть точки, в которых пределы меняются на:

Где я хранил$t^2/2$часть, чтобы быть более очевидным, что это интеграция$t$.

Ответ очень прост, и он исходит из уравнения, которое Энди показал вам выше, путем интегрирования всех факторов.