Решение космической струны общей теории относительности

Question

Решение космической струны общей теории относительности

Чам

У меня возникли трудности с завершением решения уравнения Эйнштейна для статической космической струны. Я начну со следующего метрического анзаца для статической прямой струны , ориентированной вдоль $z$ направление. Используя цилиндрические координаты:

\begin{matrix} (1) & г с^{2} "=" п^{2} (р) г т^{2} - г р^{2} - {Вопрос}^{2} (р) г ϑ^{2} - г г^{2} . \end{matrix}

$\tag{1} ds^2 = \mathcal{P}^2(r) \, dt^2 - dr^2 - \mathcal{Q}^2(r)\, d\vartheta^2 - dz^2.$ Включение этой метрики в уравнение Эйнштейна дает следующие уравнения после нескольких страниц вычислений (я использую

η = (1, - 1, - 1, - 1)

$\eta = (1, -1, -1, -1)$ конвенция и

G_{a b} = - κ T_{a b}

$G_{ab} = -\, \kappa T_{ab}$ . Индексы связаны с «плоскими» локальными инерциальными системами отсчета):

\begin{aligned} (2) & г_{00} & "=" \frac{{Вопрос}^{''}}{Вопрос} "=" - κ Т_{00} "=" - κ р, \\ (3) & г_{11} & "=" - \frac{п^{'} {Вопрос}^{'}}{п Вопрос} "=" - κ Т_{11} "=" 0, \\ (4) & г_{22} & "=" - \frac{п^{''}}{п} "=" - κ Т_{22} "=" 0, \\ (5) & г_{33} & "=" - \frac{п^{''}}{п} - \frac{п^{'} {Вопрос}^{'}}{п Вопрос} - \frac{{Вопрос}^{''}}{Вопрос} "=" - κ Т_{33} "=" + κ т . \end{aligned}

$\begin{align} G_{00} &= \frac{\mathcal{Q}^{\prime \prime}}{\mathcal{Q}} = -\, \kappa T_{00} = -\, \kappa \rho, \tag{2} \\[1ex] G_{11} &= -\, \frac{\mathcal{P}^{\prime} \mathcal{Q}^{\prime}}{\mathcal{P} \mathcal{Q}} = -\, \kappa T_{11} = 0, \tag{3} \\[1ex] G_{22} &= -\, \frac{\mathcal{P}^{\prime \prime}}{\mathcal{P}} = -\, \kappa T_{22} = 0, \tag{4} \\[1ex] G_{33} &= -\, \frac{\mathcal{P}^{\prime \prime}}{\mathcal{P}} - \frac{\mathcal{P}^{\prime} \mathcal{Q}^{\prime}}{\mathcal{P} \mathcal{Q}} - \frac{\mathcal{Q}^{\prime \prime}}{\mathcal{Q}} = -\, \kappa T_{33} = +\, \kappa \tau. \tag{5} \end{align}$ Здесь,

ρ > 0

$\rho > 0$ и

σ = - τ < 0

$\sigma = -\, \tau < 0$ - плотность энергии и натяжение струны соответственно. Теперь (2) подразумевает

Q^{'} \neq 0

$\mathcal{Q}^{\prime} \ne 0$ , поэтому (3) и (4) дают

P^{'} = 0

$\mathcal{P}^{\prime} = 0$ и

P^{''} = 0

$\mathcal{P}^{\prime \prime} = 0$ . Тогда (5) влечет

τ = ρ

$\tau = \rho$ , что хорошо для релятивистской струны. Затем проблема начинается, когда я пытаюсь решить (2). Я ожидал тонкую струну, поэтому дельта Дирака для плотности

ρ

$\rho$ . Но (2) предложите другое решение, и я этого не ожидал. Предполагая постоянную плотность

ρ = ρ_{0}

$\rho = \rho_0$ для

r < R

$r < R$ (радиус струны) и

ρ = 0

$\rho = 0$ для

r > R

$r > R$ , Я получил

\begin{matrix} (6) & {Вопрос}^{''} + κ р_{0} Вопрос "=" 0. \end{matrix}

$\tag{6} \mathcal{Q}^{\prime \prime} + \kappa \rho_0 \, \mathcal{Q} = 0.$ Тогда это гармоническое уравнение, имеющее общее решение (пишу

λ \equiv \sqrt{κ ρ_{0}}

$\lambda \equiv \sqrt{\kappa \rho_0}$ упростить дело)

\begin{matrix} (7) & Вопрос (р) "=" α грех (λ р) + β потому что (λ р) . \end{matrix}

$\tag{7} \mathcal{Q}(r) = \alpha \sin(\lambda r) + \beta \cos(\lambda r).$ Для внешней метрики:

ρ = 0

$\rho = 0$ , (2) сводится к

Q^{''} = 0

$\mathcal{Q}^{\prime \prime} = 0$ , которые имеют решение

Q (r) = a r + b

$\mathcal{Q}(r) = a r + b$ . Сопоставление решения на

r = R

$r = R$ дает

\begin{matrix} (8) & Вопрос (р) "=" α грех (λ р) + β потому что λ р "=" а р + б . \end{matrix}

$\tag{8} \mathcal{Q}(R) = \alpha \sin(\lambda R) + \beta \cos{\lambda R} = a R + b.$ Итак, моя проблема состоит в том, чтобы найти константы

α

$\alpha$ ,

β

$\beta$ ,

a

$a$ и

b

$b$ (четыре константы!), из условий регулярности и соединения.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Из ответов AVS и Майкла ниже я должен применить регулярность в $r = 0$ :

\begin{aligned} (9) & {Вопрос}_{инт} (0) & "=" 0, \\ (10) & {Вопрос}_{инт}^{'} (0) & "=" 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{Q}_{\text{int}}(0) &= 0, \tag{9} \\[1ex] \mathcal{Q}_{\text{int}}^{\prime}(0) &= 1. \tag{10} \end{align}$ Это дает

α = λ^{- 1}

$\alpha = \lambda ^{-1}$ и

β = 0

$\beta = 0$ , так

\begin{matrix} (11) & {Вопрос}_{инт} (р) "=" \frac{1}{λ} грех (λ р) . \end{matrix}

$\tag{11} \mathcal{Q}_{\text{int}}(r) = \frac{1}{\lambda} \, \sin(\lambda r).$ Это отлично. Но затем я накладываю соединение на поверхность струны. Видимо, тут есть какая-то тонкость, которую я не понимаю. Согласно некоторым малоизвестным документам, которые я нашел, радиальная координата

r

$r$ не то же самое на внутренней стороне и на внешней стороне строки, поэтому

R_{int} \neq R_{ext}

$R_{\text{int}} \ne R_{\text{ext}}$ :

\begin{aligned} (12) & {Вопрос}_{инт} (р_{инт}) & "=" {Вопрос}_{доб.} (р_{доб.}), \\ (13) & {Вопрос}_{инт}^{'} (р_{инт}) & "=" {Вопрос}_{доб.}^{'} (р_{доб.}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{Q}_{\text{int}}(R_{\text{int}}) &= \mathcal{Q}_{\text{ext}}(R_{\text{ext}}), \tag{12} \\[1ex] \mathcal{Q}_{\text{int}}^{\prime}(R_{\text{int}}) &= \mathcal{Q}_{\text{ext}}^{\prime}(R_{\text{ext}}). \tag{13} \end{align}$ Это дает следующие условия соединения:

\begin{aligned} (13) & \frac{1}{λ} грех (λ р_{инт}) & "=" а р_{доб.} + б, \\ (14) & потому что (λ р_{инт}) & "=" а . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{\lambda} \, \sin(\lambda R_{\text{int}}) &= a R_{\text{ext}} + b, \tag{13} \\[1ex] \cos(\lambda R_{\text{int}}) &= a. \tag{14} \end{align}$ Я не могу решить эту систему уравнений без дополнительного ограничения (??). Я получаю отношение какой-то бумаги, если я навязываю

b = 0

$b = 0$ так

\begin{matrix} (15) & р_{доб.} "=" \frac{1}{λ} загар (λ р_{инт}) . \end{matrix}

$\tag{15} R_{\text{ext}} = \frac{1}{\lambda} \, \tan(\lambda R_{\text{int}}).$ Определение энергии на единицу длины

μ = ρ_{0} A_{int}

$\mu = \rho_0 A_{\text{int}}$ , Я получил

a = 1 - 4 G μ

$a = 1 - 4 G \mu$ , что связано с дефицитом угла.

Но как я могу оправдать это $b = 0$ и что радиальная координата не одинакова с обеих сторон поверхности струны? Почему я не могу просто использовать $R_{\text{int}} = R_{\text{ext}} = R$ , а затем найти $a$ и $b \ne 0$ ?

«Неясная» статья, в которой показаны некоторые детали (с надоедливыми странными обозначениями!), Без объяснения другой радиальной координаты и почему $b$ должен быть равен 0. См. выражения (6), (7), (8) на стр. 2:

https://arxiv.org/abs/hep-th/0107026

См. также страницы 3 и 4 этого документа:

https://arxiv.org/abs/gr-qc/9508055

ТимРиас

У меня нет времени, чтобы написать правильный ответ. Но ответ должен следовать из наложения регулярности на

r = 0

$r=0$ и условия соединения в

r = R

$r=R$ .

Майкл Зайферт

Это может не быть домашним заданием в классе, который вы сейчас посещаете, но это все же довольно стандартное упражнение. Я задал его прошлой весной в студенческом классе GR.

Чам

@MichaelSeifert, ну, я даже не хожу на «класс». Я изучаю этот предмет самостоятельно, чтобы добавить его в свои заметки для будущего класса! ;-)

магма

ваш анзац не кажется правильным. термин

Q^{2} (r) ϑ^{2}

$\mathcal{Q}^2(r)\, \vartheta^2$ не имеет дифференциала. Также вы говорите, что используете полярные координаты, но вы, вероятно, имеете в виду цилиндрические координаты.

Майкл Зайферт

Что касается ваших последних правок, вам, вероятно, следует задать новый вопрос о них и дать ссылку на документы, содержащие эти утверждения (или включить выдержки из них, если они действительно неясны).

Чам

@MichaelSeifert, я добавил ссылку на одну «малоизвестную» статью. Задание нового вопроса приведет к дублированию, поскольку это, по сути, тот же вопрос, что и раньше.

Чам

Почему закрытое голосование?

Ответы (2)

Решение космической струны общей теории относительности

У меня нет времени, чтобы написать правильный ответ. Но ответ должен следовать из наложения регулярности на $r=0$ и условия соединения в $r=R$ .
Это может не быть домашним заданием в классе, который вы сейчас посещаете, но это все же довольно стандартное упражнение. Я задал его прошлой весной в студенческом классе GR.
@MichaelSeifert, ну, я даже не хожу на «класс». Я изучаю этот предмет самостоятельно, чтобы добавить его в свои заметки для будущего класса! ;-)
ваш анзац не кажется правильным. термин $\mathcal{Q}^2(r)\, \vartheta^2$ не имеет дифференциала. Также вы говорите, что используете полярные координаты, но вы, вероятно, имеете в виду цилиндрические координаты.
Что касается ваших последних правок, вам, вероятно, следует задать новый вопрос о них и дать ссылку на документы, содержащие эти утверждения (или включить выдержки из них, если они действительно неясны).
@MichaelSeifert, я добавил ссылку на одну «малоизвестную» статью. Задание нового вопроса приведет к дублированию, поскольку это, по сути, тот же вопрос, что и раньше.

Майкл Зайферт · Answer 1

Майкл Зайферт

Как отметил @mmeent в комментариях, метрика должна быть регулярной в начале координат. Это означает, в частности, что

Вопрос (р) \approx р

$\mathcal{Q}(r) \approx r$ в пределе

r \to 0

$r \to 0$ . Эквивалентно, мы должны иметь

Q (0) = 0

$\mathcal{Q}(0) = 0$ и

Q^{'} (0) = 1

$\mathcal{Q}'(0) = 1$ . Кроме того, компоненты метрики и их первые производные должны быть непрерывны на границе

r = R

$r = R$ .

Таким образом, мы имеем четыре уравнения (два из регулярности в начале координат, два из непрерывности на границе) относительно четырех неизвестных. $\alpha$ , $\beta$ , $a$ , и $b$ . Возьми оттуда.

Чам

Ваши условия соединения не дают правильного угла дефицита (если я что-то не упустил). Это дает

{Вопрос}_{инт} (р) "=" \frac{1}{λ} грех (λ р),

$\mathcal{Q}_{\text{int}}(r) = \frac{1}{\lambda} \, \sin(\lambda r),$ что кажется правильным, и

{Вопрос}_{доб.} (р) "=" (р - р) потому что (λ р) + \frac{1}{λ} грех (λ р),

$\mathcal{Q}_{\text{ext}}(r) = (r - R) \cos(\lambda R) + \frac{1}{\lambda} \, \sin(\lambda R),$ что я считаю неправильным. Это не "обычно"

{Вопрос}_{доб.} (р) "=" (1 - 4 г мю) р

$\mathcal{Q}_{\text{ext}}(r) = (1 - 4 G \mu) \, r$ которые я мог найти во многих газетах (у меня есть

\cos (λ R) = 1 - 4 G μ

$\cos(\lambda R) = 1 - 4 G \mu$ от площади поперечного сечения толстой струны). Должен ли я сделать предел

R \to 0

$R \rightarrow 0$ ?

Чам

Пожалуйста, вы подтверждаете выражения в моем предыдущем сообщении? Должен ли я принять ограничение, чтобы вернуть угол дефицита, представленный во многих статьях?

Майкл Зайферт

@Cham: я считаю, что стандартное решение предполагает, что

λ R ≪ 1

$\lambda R \ll 1$ , да.

Чам

Странно, что решение с толстой струной включает в себя тригонометрическую - осциллирующую - синусную функцию. В интерьере, когда

r

$r$ увеличивается, функция

Q (r)

$\mathcal{Q}(r)$ колеблется (если не наложить ограничение

λ R < \frac{π}{2}

$\lambda R < \dfrac{\pi}{2}$ ).

Майкл Зайферт

@Чам: если

Q \to 0

$\mathcal{Q} \to 0$ , то у вас есть координатная сингулярность (и, возможно, реальная, я не уверен). То же самое происходит в решении Шварцшильда на горизонте событий.

АВС · Answer 2

Во-первых , мне кажется, что анзац $(1)$ для этой метрики толстой космической струны неверно, так как для общего $\mathcal{P}(r)$ в метрике не хватает $SO(1,1)$ инвариантность относительно бустов вдоль направления струны, т.е. преобразований Лоренца в $(t,z)$ самолет.

Мое предложение:

\begin{matrix} (1*) & г с^{2} "=" п^{2} (р) (г т^{2} - г г^{2}) - г р^{2} - {Вопрос}^{2} (р) г ϑ^{2} . \end{matrix}

$\tag{1*} ds^2 = \mathcal{P}^2(r) \,( dt^2 - dz^2) - dr^2 - \mathcal{Q}^2(r)\,d \vartheta^2 .$

И OP, и мои показатели сводятся к одному и тому же, если условие $\mathcal{P}\equiv 1$ накладывается (что происходит, если напряжения $T_{rr}$ и $T_{\theta\theta}$ равны нулю). Однако, если $\mathcal{P}$ варьируется в зависимости от $r$ в версии OP эта симметрия повышения исчезает. Таким образом, анзац OP не будет работать для толстой струны, которая (например) является решением системы Эйнштейна – Абеля Хиггса.

Второй . Правильный выбор констант $\alpha=1/\lambda$ , $\beta=0$ (пока $b\ne 0$ ). Это следует из

интерпретация $r$ как расстояние от оси симметрии (которое было бы $r=0$ ) вдоль радиального направления (так что при $r=0$ метрика должна иметь координатную особенность, поэтому $\mathcal{Q}(0)=0$ );
вблизи оси симметрии не должно быть дополнительного дефицита угла. Если $\alpha\ne 1/\lambda$ внутри толстой струны была бы тонкая струна!

Остальные константы $a$ и $b$ получаются из условий непрерывности $\mathcal{Q}$ и $\mathcal{Q}'$ через границу $r=R$ . Если $\mathcal{Q}'$ скачков, то это соответствовало бы ненулевому тензору поверхностных напряжений-энергий цилиндра.

В качестве интересной вариации толстой струны я предлагаю метрику «релятивистского соленоида»: внутренняя метрика — пространство-время Мелвина (с магнитным полем вдоль $z$ –ось) и с тензором энергии напряжений, зависящим от $r$ так: $T^{\mu}_{\nu}=\rho(r)\,\mathop{\mathrm{diag}}(1,1,-1,-1)$ , а снаружи — плоское пространство-время с дефицитом угла. На поверхности цилиндра тогда возникнут ток и распределение плотности поверхностной энергии и напряжений. Для такой метрики функция $\mathcal{P}(r)$ не было бы постоянным.

Подумав об этом, я все еще не понимаю ваш лоренц-инвариантный анзац. Строковая правильная система отсчета определяет привилегированную систему отсчета, которая может разрушить лоренц-инвариантность метрики, поэтому я не вижу никакой проблемы в анзаце (1) моего вопроса (хотя в конце мы остаемся с тем же самым, поскольку $\mathcal{P} = 1$ ).
Это не инвариант Лоренца, а инвариант SO (1,1) (скорее, на самом деле ISO (1,1)) инвариант, поскольку только $(z,t)$ самолет трансформируется. Я не вижу никакой проблемы в анзаце (1) моего вопроса. Проблема в том, что он не самый общий. Более общий должен иметь $\mathcal{B}(r)^2 dz^2$ скорее, чем $dz^2$ и вы не можете оправдать $\mathcal{B}=1$ вообще говоря о толстой струне.
Ну видимо метрика $ds^2 = \mathcal{P}^2(r) dt^2 - dr^2 - \mathcal{Q}^2(r) d\vartheta^2 - \mathcal{B}^2(r) dz^2$ является более общим, но и значительно усложняет расчеты. По определению, анзац — это своего рода «догадка» для поиска решения. Я не вижу никакой проблемы в том, чтобы ограничиться $\mathcal{B}(r) = 1$ просто чтобы упростить дело.
Функция $\mathcal{P}^2(r)$ перед $dt^2$ естественно, так как мы ожидаем, что время замедляется вблизи струны. Менее очевидно, почему должно быть $\mathcal{B}^2(r)$ перед $dz^2$ ,
анзац - своего рода "догадка"... Да, вы получили правильное решение из своей догадки, но только после дополнительного "догадывания", что $\rho=\tau$ и поперечные давления отсутствуют. При самом общем анзаце ограничения на тензор энергии-импульса минимальны. С другой стороны, если мы предположим $\rho=\tau$ и поперечные давления отсутствуют с самого начала, то $\mathcal{P}=\mathcal{B}=1$ следует немедленно, и вычисления становятся еще проще.
Вы правы, я сделал "ошибку в рассуждениях" из-за очень сильного ограничения (вероятно, нереалистичного): я изначально предполагал, что тензор энергии-импульса не имеет никакого поперечного давления, как для тонкой струны . я не предполагал $\tau = \rho$ хотя с самого начала. Это вытекало из уравнений автоматически из-за этого предположения. Я только что проверил, что уравнения несовместимы, если поперечное давление не равно 0. В этом случае нам нужно $\mathcal{B}(r) \ne 1$ .
По крайней мере, моя процедура как добродетель, показывающая, что поперечное давление явно требует этого $\mathcal{B}$ функция!
Не могли бы вы объяснить, что вы имеете в виду под $SO(1,1)$ симметрия? Это обозначение не может быть стандартным для всех
@магма: $SO(1,1)$ симметрии здесь являются лоренцевы бусты вдоль $z$ направление, т.е. преобразование формы $z'=z \cosh \psi + t \sinh \psi$ , $t'=t \cosh \psi + z \sinh \psi$ . Если еще добавить неоднородные сдвиги для $t$ и $z$ симметрия была бы $ISO(1,1)$ . Это преобразование оставляет $dt^2-dz^2$ неизменным, поэтому мой анзац (1*) инвариантен относительно него для произвольной функции $\mathcal{P}(r)$ , а уравнение ОП (1) инвариантно только для $\mathcal{P}\equiv 1$ . О том, что подразумевает эта симметрия для космической струны, см. мой ответ здесь .

Решение космической струны общей теории относительности

Чам

ТимРиас

Майкл Зайферт

Чам

магма

Майкл Зайферт

Чам

Чам

Ответы (2)

Майкл Зайферт

Чам

Чам

Майкл Зайферт

Чам

Майкл Зайферт

АВС

АВС

Чам

АВС

Чам

Чам

АВС

Чам

Чам

магма

АВС

Два наблюдателя Робертсона-Уокера, в какое время будет получен световой сигнал?

Притяжение возле прямой космической струны

Встраиваемый коллектор с метрической системой FLRW

Общая теория относительности с пространством и временем на разной основе

Космология с отрицательной космологической постоянной

Интерпретация нормальных координат

Каноническая форма структурных констант и взаимно ортогональная триада на орбитах космологий Бьянки

Контрпример к определению сферической симметрии в общей теории относительности

Почему абсолютный градиент метрического тензора ∇αgµν=0∇αgµν=0\nabla_{\alpha} g_{\mu \nu} = 0 в любой системе координат? [дубликат]

Как найти нулевую геодезическую?